• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Phép cộng các phân thức đại số – Toán lớp 8

04/07/2022 - 06:26 AM - 116 Lượt xem

Trong chương trình Toán lớp 8, kiến thức về phép cộng các phân thức đại số được coi là kiến thức nền tảng. Nắm chắc được kiến thức này, các em mới có thể vận dụng làm các bài tập liên quan. Hãy cùng Cmath tìm hiểu và củng cố kiến thức này trong bài viết dưới đây nhé!

Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta tiến hành cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Ta có thể viết như sau: A/B + C/B = (A + B)/C

Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Ví dụ 1: Cộng hai phân thức: x2/(3x + 3) + (2x + 1)/(3x + 3)

Lời giải:

Ta có: x2/(3x + 3) + (2x + 1)/(3x + 3) = (x2 + 2x + 1)/(3x + 3)

= (x + 1)^2/3(x + 1) = (x+1)/3

Ví dụ 2: Cộng hai phân thức: x^2/(x + 2y) + 2xy/(x + 2y)

Lời giải:

Ta có: x^2/(x + 2y) + 2xy/(x + 2y) = x(x + 2y)/(x + 2y) = x

Phép cộng hai phân thức khác mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức có phần mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức của các phân thức đã cho rồi áp dụng phương pháp cộng các phân thức có cùng với mẫu thức vừa tìm được.

Ta có thể viết như sau: A/B + C/D = (A.D)/(B.D) + (C.B)/(B.D) = (AD + BC)/BD

Phép cộng hai phân thức khác mẫu thức

Phép cộng hai phân thức khác mẫu thức

Ví dụ 1: Cộng hai phân thức: (x + 1)/(2x – 2) + (-2x)/(x^2 – 1)

Ta có: 2x – 2 = 2(x – 1)

x2 – 1 = (x -1)(x + 1)

Mẫu thức chung = 2(x – 1)(x + 1)

Khi đó ta có: (x + 1)/(2x – 2) + (-2x)/(x^2 – 1)

= [(x + 1)(x + 1)]/[2(x – 1)(x + 1)] + (-2x.2)/[2(x – 1)(x + 1)] = (x^2 + 2x + 1 – 4x)/[2(x – 1)(x + 1)]

= (x^2 – 2x + 1)/[2(x – 1)(x + 1)] = [(x – 1)^2]/[2(x – 1)(x + 1)] = (x – 1)/2(x + 1)

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất như:

Tính chất giao hoán: A/B + C/D = C/D + A/B

Tính chất kết hợp: (A/B + C/D) + E/F = A/B + (C/D + E/F)

 

Ví dụ 2: Cộng các phân thức: 2x/(x^2 + 4x + 4) + (x + 1)/(x + 2) + (2 – x)/(x^2 + 4x +4)

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm về phép cộng các phân thức đại số

Bài 1: Kết quả của phép cộng (x + 1)/(2x – 2) + 2x/(1 – x^2) là?

A. (x^2 + 4x + 1)/2(x^2 – 1)             B. (x – 1)/2(x + 1)              C. (x + 1)/2(x – 1)^2               D. (x^2 + 1)/2(x^2 – 1)

Ta có: (x – 1)/(2x – 2) + 2x/(1 – x^2)

Suy ra: Mẫu thức chung = -2(x -1)(x + 1)

Khi đó ta có:

(x – 1)/(2x – 2) + 2x/(1 – x^2) = -(x + 1)^2/[-2(x – 1)(x + 1)] + 2.2x/[-2(x – 1)(x + 1)]

= (x^2 – 2x – 1 + 4x)/2(1 – x^2) = -(x-1)^2/[-2(x – 1)(x + 1)] = (x – 1)^2/(x + 1)

Vậy chọn đáp án B.

Bài 2: Kết quả của phép cộng (5xy – 4y)/(2x^2.y^3) + (3xy + 4y)/(2x^2.y^3) là?

A. 4/(x.y^2)               B. 4/(xy^3)                C. 2/(x^2y^2)                 D. 2/(yx^2)

Lời giải:

Ta có: (5xy – 4y)/(2x^2y^3) + (3xy + 4y)/(2x^2y^3) = (5xy – 4y + 3xy + 4y)/(2x^2.y^3) = 8xy/(2x^2.y^3) = 4x.y^2

Chọn đáp án A.

Bài 3: Rút gọn biểu thức: (x + 1)/(x – 5) + (x – 18)/(x – 5) + (x + 2)/(x – 5) được kết quả là?

A. 3            B. -3           C. 3/(x – 5)             D. (-3)(x – 5)

Lời giải:

Ta có: (x + 1)/(x – 5) + (x – 18)/(x – 5) + (x + 2)/(x – 5)

=(x + 1 + x – 18 + x + 2)/(x – 5) = (3x – 15)/(x – 5) = 3(x – 5)/(x – 5) = 3

Chọn đáp án A.

Một số bài tập trắc nghiệm

Một số bài tập trắc nghiệm

Bài 4: Rút gọn biểu thức (4 – x^2)/(x – 3) + (2x – 2x^2)/(3 – x) + (5 – 4x)/(x – 3) được kết quả là?

A. 3 -x                 B. x – 3                   C. x + 3                      D. -x – 3

Lời giải:

Ta có: (4 – x^2)/(x – 3) + (2x – 2x^2)/(3 – x) + (5 – 4x)/(x – 3)

= (4 – x^2)/(x – 3) – (2x – 2x^2)/(x – 3) + (5 – 4x)/(x – 3)

= (4 – x^2 – 2x + 2x^2 + 5 – 4x)/(x – 3)

= (x^2 – 6x + 9)/(x – 3) = (x – 3)^2/(x – 3) = x – 3

Chọn đáp án B.

Bài 5: Rút gọn biểu thức y/(2x^2 – xy) + 4xy/(2 – 2xy) được kết quả là:

  • (2x + y)/(xy)
  • (2x – y)/(xy)
  • (-2x – y)/(xy)
  • (y – 2x)/(xy)

Lời giải:

Ta có: 2×2 – xy = x(2x -y)

y2 – 2xy = -y(2x – y)

Mẫu thức chung = -xy(2x – y)

Khi đó ta có:

y/(2x^2 – xy) + 4xy/(2 – 2xy) = (-y.y)/[-xy(2x – y)] + (4x.x)/[-xy(2x – y)]

= (4x^2 – y^2)/[-xy(2x – y)] = [(2x + y)(2x – y)]/[-xy(2x – y)] = (-2x – y)/xy

Chọn đáp án C.

Bài tập tự luận

Bài 1: Áp dụng phép cộng các phân thức để thực hiện các phép tính sau:

a) (x + 1)/(2x + 6) + (2x + 3)/x(x + 3)

b) x^2 + (x^4 + 1)/(1 – x^2) + 1

c) (4x^2 – 3x + 17)/(x^3 – 1) + (2x – 1)/(x^2 + x + 1) + 6/(1 – x)

Lời giải: 

a) Ta có: 2x +6 = 2(x + 3); x(x + 3)

Suy ra: Mẫu thức chung = 2x(x + 3)

Khi đó: (x + 1)/(2x + 6) + (2x + 3)/x(x + 3)

= [x(x + 1)]/[2x(x + 3)] + [2(2x + 3)]/[2x(x + 3)]

= (x^2 + x + 4x + 6)/[2x(x + 3)] = [(x + 2)(x + 3)]/[2x(x + 3)] = (x + 2)/2x

b) Ta có: 

x^2 + (x^4 + 1)/(1 – x^2) + 1 = x^2.(1 – x^2)/(1 – x^2) + (x^4 + 1)/(1 – x^2) + (1 – x^2)/(1 – x^2)

= (x^2 – x^4 + x^4 + 1 + 1 – x^2)/(1 – x^2) = 2/(1 – x^2)

c) Ta có:

x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)

x^2 + x + 1 = x^2 + x + 1

1 – x = -(x – 1)

Suy ra: Mẫu thức chung = – (x – 1)(x^2 + x + 1)

Khi đó ta có:

(4x^2 – 3x + 17)/(x^3 – 1) + (2x – 1)/(x^2 + x + 1) + 6/(1 – x)

= [-(4x^2 – 3x + 17)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)] + [-(x – 1)(2x – 1)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)] + 6(x^2 + x + 1)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)]

= (12x – 12)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)] = 12(x – 1)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)] = –12/(x^2 + x + 1)

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

Lời giải:

Ta có:

Bài 3: Thực hiện phép tính dưới đây:

A = (x + 1)/(x – 3) + (-2x^2 + 2x)(x^2 – 9) + (x – 1)/(x + 3)

Lời giải:

Ta có: x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)

Suy ra: Mẫu thức chung = (x – 3)(x + 3)

A = (x + 1)/(x – 3) + (-2x^2 + 2x)(x^2 – 9) + (x – 1)/(x + 3)

= [(x + 1)(x + 3)]/[(x – 3)(x + 3)] + (-2x^2 + 2x)/[(x – 3)(x + 3)] + [(x – 1)(x – 3)]/[(x – 3)(x + 3)]

= (x^2 + 4x + 3 – 2x^2 + 2x + x^2 – 4x + 3)/[(x – 3)(x + 3)] = (2x + 6)/[(x – 3)(x + 3)]

= 2(x + 3)/[(x – 3)(x + 3)] = 2/(x – 3)

Bài 4: Tìm a, b sao cho: 1/x(1 – x) = a/x + b/(1 – x)

Lời giải:

Xét a/x + b/(1-x) = a(1 – x)/x(1 – x) + bx/x(1 – x)

=(a – ax + bx)/x(1 – x) = [a+(b – a)x]/x(1 – x)

Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số, ta được: a = 1 và b – a = 0

Suy ra: a = 1; b = 1

Bổ trợ kiến thức toán học lớp 8

Bài 5: Thực hiện quy đồng mẫu số rồi thực hiện phép cộng các phân thức sau:

a) (1 – 2x)/2x + 2x/(2x – 1) + 1/(4×2 – 2x)

b) x2/ (x2 – 2x) + 6/(6 – 3x) + 1/(x + 2)

Lời giải:

a) (1 – 2x)/2x + 2x/(2x – 1) + 1/(4×2 – 2x)

= (1 – 2x)(2x – 1)/2x(2x – 1) + 2x.2x/2x(2x – 1) + 12x(2x-1)

= [(-4×2 + 4x – 1) + 4×2 + 1]/2x(2x – 1)

= 4x/2x(2x – 1) = 1/(2x-1)

b) x2/ (x2 – 2x) + 6/(6 – 3x) + 1/(x + 2)

= 3×2(x + 2)/3x(x – 2)(x + 2) + -6x(x + 2)/3x(x – 2)(x + 2) + 3x(x – 2)/3x(x – 2)(x + 2)

= (3×3 + 6×2 – 6×2 – 12x + 3×2 – 6x)/3x(x – 2)(x + 2)

= 3x(x2 + x – 6)/3x(x – 2)(x + 2) = (x2 + 2x – 3x -6)/(x – 2)(x + 2)

= (x – 2)(x + 3)/(x – 2)(x + 2) = (x + 3)/(x + 2)

Tham khảo thêm:

Tạm kết

Bài viết trên đã tổng hợp cho các em các lý thuyết về phép cộng các phân thức đại số kết hợp áp dụng làm một số bài tập vận dụng. Hy vọng các em nắm chắc phần lý thuyết quan trọng này. Chúc các em luôn học tốt và hãy thường xuyên theo dõi các bài viết của Cmath nhé!