Trong chương trình Toán lớp 8, kiến thức về phép cộng các phân thức đại số được coi là kiến thức nền tảng. Nắm chắc được kiến thức này, các em mới có thể vận dụng làm các bài tập liên quan. Hãy cùng Cmath tìm hiểu và củng cố kiến thức này trong bài viết dưới đây nhé!
Cộng hai phân thức cùng mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta tiến hành cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
Ta có thể viết như sau: A/B + C/B = (A + B)/C
Ví dụ 1: Cộng hai phân thức: x2/(3x + 3) + (2x + 1)/(3x + 3)
Lời giải:
Ta có: x2/(3x + 3) + (2x + 1)/(3x + 3) = (x2 + 2x + 1)/(3x + 3)
= (x + 1)^2/3(x + 1) = (x+1)/3
Ví dụ 2: Cộng hai phân thức: x^2/(x + 2y) + 2xy/(x + 2y)
Lời giải:
Ta có: x^2/(x + 2y) + 2xy/(x + 2y) = x(x + 2y)/(x + 2y) = x
Phép cộng hai phân thức khác mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức có phần mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức của các phân thức đã cho rồi áp dụng phương pháp cộng các phân thức có cùng với mẫu thức vừa tìm được.
Ta có thể viết như sau: A/B + C/D = (A.D)/(B.D) + (C.B)/(B.D) = (AD + BC)/BD
Ví dụ 1: Cộng hai phân thức: (x + 1)/(2x – 2) + (-2x)/(x^2 – 1)
Ta có: 2x – 2 = 2(x – 1)
x2 – 1 = (x -1)(x + 1)
Mẫu thức chung = 2(x – 1)(x + 1)
Khi đó ta có: (x + 1)/(2x – 2) + (-2x)/(x^2 – 1)
= [(x + 1)(x + 1)]/[2(x – 1)(x + 1)] + (-2x.2)/[2(x – 1)(x + 1)] = (x^2 + 2x + 1 – 4x)/[2(x – 1)(x + 1)]
= (x^2 – 2x + 1)/[2(x – 1)(x + 1)] = [(x – 1)^2]/[2(x – 1)(x + 1)] = (x – 1)/2(x + 1)
Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất như:
Tính chất giao hoán: A/B + C/D = C/D + A/B
Tính chất kết hợp: (A/B + C/D) + E/F = A/B + (C/D + E/F)
Ví dụ 2: Cộng các phân thức: 2x/(x^2 + 4x + 4) + (x + 1)/(x + 2) + (2 – x)/(x^2 + 4x +4)
Lời giải:
Bài tập trắc nghiệm về phép cộng các phân thức đại số
Bài 1: Kết quả của phép cộng (x + 1)/(2x – 2) + 2x/(1 – x^2) là?
A. (x^2 + 4x + 1)/2(x^2 – 1) B. (x – 1)/2(x + 1) C. (x + 1)/2(x – 1)^2 D. (x^2 + 1)/2(x^2 – 1)
Ta có: (x – 1)/(2x – 2) + 2x/(1 – x^2)
Suy ra: Mẫu thức chung = -2(x -1)(x + 1)
Khi đó ta có:
(x – 1)/(2x – 2) + 2x/(1 – x^2) = -(x + 1)^2/[-2(x – 1)(x + 1)] + 2.2x/[-2(x – 1)(x + 1)]
= (–x^2 – 2x – 1 + 4x)/2(1 – x^2) = -(x-1)^2/[-2(x – 1)(x + 1)] = (x – 1)^2/(x + 1)
Vậy chọn đáp án B.
Bài 2: Kết quả của phép cộng (5xy – 4y)/(2x^2.y^3) + (3xy + 4y)/(2x^2.y^3) là?
A. 4/(x.y^2) B. 4/(xy^3) C. 2/(x^2y^2) D. 2/(yx^2)
Lời giải:
Ta có: (5xy – 4y)/(2x^2y^3) + (3xy + 4y)/(2x^2y^3) = (5xy – 4y + 3xy + 4y)/(2x^2.y^3) = 8xy/(2x^2.y^3) = 4x.y^2
Chọn đáp án A.
Bài 3: Rút gọn biểu thức: (x + 1)/(x – 5) + (x – 18)/(x – 5) + (x + 2)/(x – 5) được kết quả là?
A. 3 B. -3 C. 3/(x – 5) D. (-3)(x – 5)
Lời giải:
Ta có: (x + 1)/(x – 5) + (x – 18)/(x – 5) + (x + 2)/(x – 5)
=(x + 1 + x – 18 + x + 2)/(x – 5) = (3x – 15)/(x – 5) = 3(x – 5)/(x – 5) = 3
Chọn đáp án A.
Bài 4: Rút gọn biểu thức (4 – x^2)/(x – 3) + (2x – 2x^2)/(3 – x) + (5 – 4x)/(x – 3) được kết quả là?
A. 3 -x B. x – 3 C. x + 3 D. -x – 3
Lời giải:
Ta có: (4 – x^2)/(x – 3) + (2x – 2x^2)/(3 – x) + (5 – 4x)/(x – 3)
= (4 – x^2)/(x – 3) – (2x – 2x^2)/(x – 3) + (5 – 4x)/(x – 3)
= (4 – x^2 – 2x + 2x^2 + 5 – 4x)/(x – 3)
= (x^2 – 6x + 9)/(x – 3) = (x – 3)^2/(x – 3) = x – 3
Chọn đáp án B.
Bài 5: Rút gọn biểu thức y/(2x^2 – xy) + 4xy/(2 – 2xy) được kết quả là:
- (2x + y)/(xy)
- (2x – y)/(xy)
- (-2x – y)/(xy)
- (y – 2x)/(xy)
Lời giải:
Ta có: 2×2 – xy = x(2x -y)
y2 – 2xy = -y(2x – y)
Mẫu thức chung = -xy(2x – y)
Khi đó ta có:
y/(2x^2 – xy) + 4xy/(2 – 2xy) = (-y.y)/[-xy(2x – y)] + (4x.x)/[-xy(2x – y)]
= (4x^2 – y^2)/[-xy(2x – y)] = [(2x + y)(2x – y)]/[-xy(2x – y)] = (-2x – y)/xy
Chọn đáp án C.
Bài tập tự luận
Bài 1: Áp dụng phép cộng các phân thức để thực hiện các phép tính sau:
a) (x + 1)/(2x + 6) + (2x + 3)/x(x + 3)
b) x^2 + (x^4 + 1)/(1 – x^2) + 1
c) (4x^2 – 3x + 17)/(x^3 – 1) + (2x – 1)/(x^2 + x + 1) + 6/(1 – x)
Lời giải:
a) Ta có: 2x +6 = 2(x + 3); x(x + 3)
Suy ra: Mẫu thức chung = 2x(x + 3)
Khi đó: (x + 1)/(2x + 6) + (2x + 3)/x(x + 3)
= [x(x + 1)]/[2x(x + 3)] + [2(2x + 3)]/[2x(x + 3)]
= (x^2 + x + 4x + 6)/[2x(x + 3)] = [(x + 2)(x + 3)]/[2x(x + 3)] = (x + 2)/2x
b) Ta có:
x^2 + (x^4 + 1)/(1 – x^2) + 1 = x^2.(1 – x^2)/(1 – x^2) + (x^4 + 1)/(1 – x^2) + (1 – x^2)/(1 – x^2)
= (x^2 – x^4 + x^4 + 1 + 1 – x^2)/(1 – x^2) = 2/(1 – x^2)
c) Ta có:
x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)
x^2 + x + 1 = x^2 + x + 1
1 – x = -(x – 1)
Suy ra: Mẫu thức chung = – (x – 1)(x^2 + x + 1)
Khi đó ta có:
(4x^2 – 3x + 17)/(x^3 – 1) + (2x – 1)/(x^2 + x + 1) + 6/(1 – x)
= [-(4x^2 – 3x + 17)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)] + [-(x – 1)(2x – 1)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)] + 6(x^2 + x + 1)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)]
= (12x – 12)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)] = 12(x – 1)/[-(x – 1)(x^2 + x + 1)] = –12/(x^2 + x + 1)
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:
Lời giải:
Ta có:
Bài 3: Thực hiện phép tính dưới đây:
A = (x + 1)/(x – 3) + (-2x^2 + 2x)(x^2 – 9) + (x – 1)/(x + 3)
Lời giải:
Ta có: x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
Suy ra: Mẫu thức chung = (x – 3)(x + 3)
A = (x + 1)/(x – 3) + (-2x^2 + 2x)(x^2 – 9) + (x – 1)/(x + 3)
= [(x + 1)(x + 3)]/[(x – 3)(x + 3)] + (-2x^2 + 2x)/[(x – 3)(x + 3)] + [(x – 1)(x – 3)]/[(x – 3)(x + 3)]
= (x^2 + 4x + 3 – 2x^2 + 2x + x^2 – 4x + 3)/[(x – 3)(x + 3)] = (2x + 6)/[(x – 3)(x + 3)]
= 2(x + 3)/[(x – 3)(x + 3)] = 2/(x – 3)
Bài 4: Tìm a, b sao cho: 1/x(1 – x) = a/x + b/(1 – x)
Lời giải:
Xét a/x + b/(1-x) = a(1 – x)/x(1 – x) + bx/x(1 – x)
=(a – ax + bx)/x(1 – x) = [a+(b – a)x]/x(1 – x)
Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số, ta được: a = 1 và b – a = 0
Suy ra: a = 1; b = 1
Bài 5: Thực hiện quy đồng mẫu số rồi thực hiện phép cộng các phân thức sau:
a) (1 – 2x)/2x + 2x/(2x – 1) + 1/(4×2 – 2x)
b) x2/ (x2 – 2x) + 6/(6 – 3x) + 1/(x + 2)
Lời giải:
a) (1 – 2x)/2x + 2x/(2x – 1) + 1/(4×2 – 2x)
= (1 – 2x)(2x – 1)/2x(2x – 1) + 2x.2x/2x(2x – 1) + 12x(2x-1)
= [(-4×2 + 4x – 1) + 4×2 + 1]/2x(2x – 1)
= 4x/2x(2x – 1) = 1/(2x-1)
b) x2/ (x2 – 2x) + 6/(6 – 3x) + 1/(x + 2)
= 3×2(x + 2)/3x(x – 2)(x + 2) + -6x(x + 2)/3x(x – 2)(x + 2) + 3x(x – 2)/3x(x – 2)(x + 2)
= (3×3 + 6×2 – 6×2 – 12x + 3×2 – 6x)/3x(x – 2)(x + 2)
= 3x(x2 + x – 6)/3x(x – 2)(x + 2) = (x2 + 2x – 3x -6)/(x – 2)(x + 2)
= (x – 2)(x + 3)/(x – 2)(x + 2) = (x + 3)/(x + 2)
Tham khảo thêm:
- Số thực là gì? Các dạng bài tập về số thực
- Hàm số tuần hoàn là gì? Cách tính chu kỳ của hàm số lượng giác
- Chuyên đề: Các dạng đồ thị hàm số cơ bản và nâng cao
Tạm kết
Bài viết trên đã tổng hợp cho các em các lý thuyết về phép cộng các phân thức đại số kết hợp áp dụng làm một số bài tập vận dụng. Hy vọng các em nắm chắc phần lý thuyết quan trọng này. Chúc các em luôn học tốt và hãy thường xuyên theo dõi các bài viết của Cmath nhé!