Chuyên đề: Các dạng đồ thị hàm số cơ bản và nâng cao

24/06/2022 - 07:35 AM - 69 Lượt xem

Đồ thị hàm số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán học lớp 9 và cấp THPT. Vậy đồ thị hàm số là gì? Có các dạng đồ thị hàm số nào trong toán học? Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nhận dạng đồ thị hàm bậc nhất, hàm bậc ba, hàm trùng phương… và các dạng bài tập đồ thị hàm số thường gặp trong đề thi. Hãy cùng Cmath tìm hiểu nhé!

Đồ thị hàm số là gì?

Đồ thị của một hàm số là sự biểu diễn một cách trực quan, sinh động các giá trị của hàm số trong hệ tọa độ Descartes.

Hệ trục tọa độ Descartes bao gồm 2 trục:

  • Trục Ox là trục nằm ngang, biểu diễn giá trị của x
  • Trục Oy là trục thẳng đứng, biểu diễn giá trị của f(x)

Cách nhận dạng đồ thị hàm số

  1. Nếu đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ y0 f(0) =y0
  2. Nếu đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x0 thì f(x0) =0
  1. Nếu đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm có hoành độ xo và tung độ y0 thì f(x0) =y0
  1. Nếu đồ thị hàm số y = f(x) là một đa thức thì chiều của nhánh cuối cùng của đồ thị về phía trục hoành là hướng lên trên khi hệ số dương và hướng xuống dưới khi hệ số âm.
  2. Với f(x) là các hàm thường gặp: nếu x = x0 là cực trị của hàm số. Suy ra: f'(x0) =0 
  1. Hàm số đa thức bậc ba y=ax3+bx2+cx+d (a 0) 
  • Giao với trục tung tại điểm có tung độ bằng d
  • Giao với trục hoành tại tối đa 3 điểm
  • y’=3ax2 + 2bx + c  =b2 – 3ac
  • Hàm số có 2 cực trị nếu > 0 và không có cực trị nếu < 0.
  • Cực trị của hàm số x1, x2 thỏa mãn định lý Vi-ét
  • x1+ x2=-2b/3a
  • x1. x2=c/3a
  1. Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương f(x)=ax4+bx2+c  (a 0)
  • Giao với trục tung tại điểm có tung độ là c.
  • Cắt trục hoành tại 4 điểm, các điểm này đối xứng lẫn nhau qua gốc O.
  • Đồ thị cắt trục hoành =b2 -4ac>0
  • y’=4ax3+2bx=2x(2ax2+b)
  • Hàm số luôn có một cực trị là x=0
  • Nếu a, b cùng dấu Đây là cực trị duy nhất.
  • Nếu a, b trái dấu Hàm số có thêm hai cực trị đối xứng nhau qua O là:
  • Đồ thị của hàm số sẽ đối xứng nhau qua trục tung.

Các dạng đồ thị hàm số cơ bản

Về cơ bản trong toán học có 5 dạng đồ thị hàm số là: đồ thị hàm số bậc nhất, đồ thị hàm bậc 2, đồ thị hàm bậc 3, đồ thị hàm bậc 4 hàm trùng phương và đồ thị hàm Logarit.

Các dạng đồ thị hàm số bậc 1

Hàm bậc nhất là hàm số có dạng: y = ax + b

Đồ thị hàm số là một đường thẳng, tạo với trục hoành một góc thỏa mãn:Trường hợp 1: a > 0Trường hợp 2: a < 0Trường hợp 3: a = 0

Đồ thị hàm số là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành Ox.

Các dạng đồ thị hàm số bậc 2

Hàm số bậc 2 có dạng: Trường hợp a > 0Trường hợp a < 0

Các dạng đồ thị hàm số bậc 3

Hàm số bậc 3 có dạng: Các dạng đồ thị của hàm bậc 3:

Trường hợp 1: Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm riêng phân biệt

Khi đó đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm và có hình dạng như sau:Trường hợp 2: Phương trình y’ = 0 là phương trình có một nghiệm kép

Khi đó đồ thị hàm số không có điểm cực trị và tiếp tuyến tại điểm uốn là đường thẳng song song với Ox.Trường hợp 3: Phương trình y’ = 0 vô nghiệm

Khi đó đồ thị hàm số không có điểm cực trị nhưng tiếp tuyến tại điểm uốn cắt trục hoành Ox.

Các dạng đồ thị hàm bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc 4 trùng phương có dạng: Trường hợp 1: Phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Khi đó, hàm số đạt cực trị tại ba điểm.Trường hợp 2: Phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm duy nhất

Khi đó, hàm số đạt cực trị tại 1 điểm và hình dáng đồ thị giống với đồ thị Parabol.

Các dạng đồ thị hàm số Logarit

Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục Oy. Đồ thị hàm Logarit phụ thuộc vào a

Các dạng toán đồ thị hàm số lớp 9

Dạng bài tập đường thẳng với đường thẳng

Trong hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng y = a1x + b1 và  y = a2x + b2. Khi đó, hai đường thẳng có thể là:

  • Hai đường thẳng song song: a1 = a2 b1 khác b2
  • Hai đường thẳng trùng nhau: a1 = a2 b1 = b2
  • Hai đường thẳng cắt nhau: a1 khác a2

Khi đó hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của phương trình: a1x + b1 = a2x + b2x=(b2b1)/(a1a2)

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng: a: y=2x+1; b: y=-x+4; c: y=mx-2

Tìm m để a, b, c cùng đi qua 1 điểm.

Giải:

Gọi giao điểm của a và b là A Hoành độ của A là nghiệm của phương trình: 2x + 1= -x + 4 -> 3x = 3->x=1

Vậy A(1;3)

Để ba đường thẳng đồng quy c phải đi qua A(1;3)

3=m-2. Suy ra: m=5

Dạng bài tập đường thẳng với Parabol

Trong chương trình toán lớp 9, chúng ta chỉ học dạng:Đồ thị hàm số này nhận trục tung làm trục đối xứng và nằm về một phía so với Ox.

Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng y=ax + b và Parabol y=kx2. Khi đó, vị trí tương đối của đường thẳng và Parabol như sau:

  • Đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt Phương trình kx2=ax + b có hai nghiệm phân biệt.
  • Đường thẳng tiếp xúc với Parabol   Phương trình kx2 = ax + b có 1 nghiệm kép.
  • Đường thẳng không cắt Parabol   Phương trình kx2 = ax + b vô nghiệm.

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng y = x + 6 và Parabol y = k. Tìm giao của đường thẳng và Parabol.

Giải:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là nghiệm của phương trình:x2 = x + 6 suy ra: x2 – x – 6=0

Suy ra: (x-3)(x+2)=0

Suy ra: x=3 hoặc x=-2

Giao điểm là: (3;9); (-2;4)

Các dạng toán đồ thị hàm số lớp 12

Trong chương trình học lớp 12, lý thuyết về đồ thị hàm số được coi là phần lý thuyết quan trọng luôn nằm trong các đề thi khảo sát cũng như tuyển sinh. 

Khảo sát đồ thị hàm số

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) ta làm như sau:

  • Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
  • Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số.
  • Bước 3: Vẽ và nhận xét đồ thị

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = –x3 + 3x2 – 4

Giải:

Tập xác định: D = R

Chiều biến thiên:

y’ = -3x2 + 6x

y’=0 suy ra: x = 0 hoặc x = 2

Ta có bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị:

y’’ = -6x + 6

y’’ = 0 suy ra: x = 1

Đồ thị hàm số đối xứng nhau qua tâm I(1;-2)

Đồ thị giao với Ox tại 2 điểm (-1;0) ;(2;0)

Đồ thị cắt Oy tại (0;-4)

Từ đó ta có đồ thị hàm số:

Viết phương trình tiếp tuyến 

Dạng bài viết phương trình tiếp tuyến khi đã cho tiếp điểm

Với dạng này, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = x3 + 2x tại M(1;3)

Giải:

Đạo hàm y’ = 3x2 + 4x 

Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến: y = (3 + 4)(x – 1) + 3

Suy ra: y = 7x – 4 

Dạng bài viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết hệ số góc k

Từ hệ số góc k = f’(x0) tìm được tiếp điểm (x0;y0). Từ đó ta được phương trình của tiếp tuyến.

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= (2x + 1)/(x + 2) và song song với :y = 3x + 3.

Giải:

y’=3/(x + 2)2

Gọi tiếp điểm là M(x0;y0). Vì tiếp tuyến song song với :y = 3x + 3 

Hệ số góc: y’(x0) = 3

3/(x + 2)2=3

Suy ra: x = -1 hoặc x = -3

Thay vào công thức ta được:

y = 3x + 2 và y = 3x + 14

Dạng bài viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước

Ví dụ:

Cho hàm số y = -4x3 + 3x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số đi qua A(-1;2).

Giải:

y’ = -12x2 + 3

Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại M(x0;y0)

Phương trình tiếp tuyến là: y = (-12x02 + 3)(x  –x0) -4x03 + 3x0 + 1

Vì tiếp tuyến đi qua A(-1;2) nên:

2 = (-12x02 + 3)(-1 – x0) – 4x0+3x0 + 1

8x03 + 12x02 – 4 = 0

4(x0 + 1)2(2x0 – 1) = 0

x0 = -1 hoặc x0 = 1/2

Hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: y = -9x + 7 và  y = 2.

Dạng bài viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số

Sử dụng hệ số góc f’(x0)

Ví dụ:

Cho hàm số x4 – 2(m + 1)x2 + m + 2A(1;1-m) thuộc đồ thị hàm số. Tìm m để tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng: x – 4y + 1=0.

Giải:

y’ = 4x3 – 4(m + 1)x

y’(1) = -4m

x – 4y + 1 =0

Suy ra: y = x4 + 14 

Tiếp tuyến vuông góc với Hệ số góc của tiếp tuyến = -4

Suy ra: -4m = -4

Vậy: m = 1

Tạm kết

Bài viết trên đây là tổng hợp kiến thức cùng một số dạng bài tập cơ bản về các dạng đồ thị hàm số. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Chúc bạn luôn chăm chỉ và đạt thành tích cao!

Tham khảo thêm:

Tìm GTLN, GTNN của hàm số – Bài tập vận dụng chi tiết

Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Lý thuyết đầy đủ về hàm số lượng giác