Hàm số tuần hoàn là gì? Cách tính chu kỳ của hàm số lượng giác

Khi nhắc đến các dạng toán về hàm số thì chắc chắn không thể bỏ qua hàm số tuần hoàn. Đây được xem là một trong những dạng toán hay và giúp cho học sinh dễ dàng lấy điểm. Tuy nhiên, nếu muốn lấy điểm tuyệt đối ở phần này thì chắc chắn các bạn học sinh phải luyện tập và học thật kỹ lý thuyết. Vì vậy, hãy cùng CMath tìm hiểu các lý thuyết về hàm số này trong bài viết sau đây. 

Định nghĩa hàm số tuần hoàn

Hàm số tuần hoàn sẽ đơn giản và dễ hiểu nếu bạn nhìn định nghĩa của nó thông qua công thức sau đây.

Có hàm số f(x+P) = f(x), hàm số này được xem là hàm số tuần hoàn nếu mỗi hằng số P khác 0 và x thuộc trong miền xác định thì ta sẽ có: hằng số P khác 0 được gọi là chu kì của hàm số.

Nếu có tồn tại ít nhất một hằng số P có tính chất này thì nó sẽ có tên gọi là chu kỳ cơ bản (hay chu kỳ cơ sở/chu kỳ gốc). Thông thường đối với chu kì hàm số, nếu nhắc tới thì hằng số P sẽ được hiểu là chu kỳ cơ bản của hàm số đó.

Chu kỳ P của hàm số sẽ lặp lại trên những khoảng có độ dài P lần. Và trong một số trường hợp, các khoản này cũng được xem là chu kì của hàm số.

Về mặt ý nghĩa hình học, hàm số tuần hoàn được xác định như một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng tịnh tiến. Ví dụ, nếu một hàng số f tuần hoàn theo chu kỳ P thì đồ thị f bất biến dưới phép tịnh tiến theo hướng x bởi một khoảng cách đúng bằng P.

Tính chất cơ bản của các hàm số tuần hoàn

Sau khi tìm hiểu về định nghĩa của hàm số tuần hoàn, sau đây sẽ là một số tính chất cơ bản của các hàm số tuần hoàn mà bạn nên lưu ý:

• Một hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì P thì với mọi x thuộc miền xác định của f(x) và mọi số nguyên n, ta được: f(x+nP) = f(x).
• Một hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì P thì f(ax) với a là số thực khác 0, hàm số sẽ tuần hoàn với chu kì P/|a|.

Phương pháp giải bài toán xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác

Hàm số thường có nhiều dạng và phương pháp giải khác nhau. Đối với hàm số tuần hoàn, CMath sẽ giới thiệu đến bạn 3 dạng toán tiêu biểu và các phương pháp giải mà bạn có thể tham khảo.

Chứng minh y = f(x) tuần hoàn

• Bước 1: Xét y = f(x) có TXĐ là D, ta dự đoán số dương T0 sao cho với mọi x thuộc D, ta được: x – T0 và x + T0 thuộc D (1); f(x + T0) = f(x) (2).
• Bước 2: Từ (1) và (2) ta được: hàm số y = f(x) là hàm tuần hoàn.

Chứng minh T0 là chu kì của hàm số y = f(x)

Để thực hiện chứng minh T0 là số nhỏ nhất (1), (2), ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Giả sử ta có số T sao cho 0 < T < T0 thỏa mãn được tính chất của (2): x thuộc D, f(x + T) = f(x) (mâu thuẫn với giả thiết 0 < T < T0).
• Bước 2: Có mâu thuẫn trên chứng minh T0 là số dương nhỏ nhất thỏa mãn (2).
• Bước 3: Ta kết luận: y = f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T0.

Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

• Hàm số y = cosx và hàm số y = sinx có chu kì 2 pi. Đối với hàm y = cos(ax +b) và hàm số y = sin(ax + b) với điều kiện a khác 0, hàm số tuần hoàn với chu kì 2pi/a.

• Hàm số y = cotx và hàm số y = tanx có chu kì pi. Đối với hàm y = cot(ax +b) và hàm số y = tan(ax + b) với điều kiện a khác 0, hàm số tuần hoàn với chu kì pi/a.
• Kết hợp cùng với kết quả của định lý sau đây:

• Định lý: Cho 2 hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên M và có các chu kì lần lượt là a và b với a/b thuộc Q. Khi đó hàm số F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x).g(x) tuần hoàn trên M.
• Định lý mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì là T, T là bội số chung nhỏ nhất của a, b.

Phương pháp giải

Trước khi tìm hiểu về bài tập vận dụng của hàm số tuần hoàn, ta cần nắm được các kiến thức cơ bản và những phương pháp giải dưới đây.

• Hàm số y = f(x) có TXĐ là D và được gọi là hàm số tuần hoàn trong điều kiện T khác 0 với mọi x thuộc D, ta được: x + T thuộc D; x – T thuộc D và f(x + T) = f(x).
• Trong trường hợp T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên thì hàm số được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T.
• Các cách tìm chu kì hàm, số lượng giác (nếu có):

• y = k.sin(ax + b) có chu kì T = 2pi/|a|
• y = k.cos(ax + b) có chu kì T = 2pi/|a|
• y = k.tan(ax + b) có chu kì T = pi/|a|
• y = k.cot(ax + b) có chu kì T = pi/|a|
• Hàm số y = f(x) có chu kì T1; hàm số y = g(x) có chu kì T2 thì chu kì của y = a.f(x) + b.g(x) là T, T là bội chung nhỏ nhất của T1, T2.

Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Hàm số nào là hàm số tuần hoàn trong các hàm số sau đây:

1. y = sin(x)
2. y = x + 1
3. y = x^2
4. y = (x–1)/(x–2)

Hướng dẫn giải:

Ta có tập xác định của hàm số là D = R.

Với mọi x thuộc D, k thuộc Z, ta được: x – 2kpi thuộc D và x + 2kpi thuộc D, sinh(x + 2kpi) = sinx. Vậy ta suy ra y = sin(x) là hàm tuần hoàn.

Vì vậy đáp án A. y = sin(x) là đáp án đúng.

Bài tập 2: Chu kì của y = cotx là gì?

1. 2pi
2. pi/4
3. kpi, k thuộc Z
4. pi

Hướng dẫn giải:

Ta có tập xác định của D = R\{pi/2 + kpi, k thuộc Z}.

Với mọi x thuộc D, k thuộc Z, ta được: x – kpi thuộc D; x + kpi thuộc D và cot(x + kpi) = cotx.

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì pi (tương ứng với k = 1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn được cot(x + kpi) = cotx.

Vì vậy đáp án D là đáp án đúng.

Bài tập 3: Tìm chu kỳ tuần hoàn của hàm số sau: y = 2cos2x + 4pi

Hướng dẫn giải:

Có y = 2cos2x + 4pi = cos2x + 1 +4pi.

Ta suy ra được hàm số tuần hoàn với chu kì T=pi.

>>> Tham khảo thêm:

Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Ước số là gì – Bội số – Số nguyên tố – Hợp số [Toán 6]

Hướng dẫn ôn thi đại học môn toán chi tiết nhất cho các sĩ tử

Tạm kết

Việc xác định hàm số tuần hoàn rất cần thiết đối với các bài toán vì đây được xem là bước đầu quan trọng để có thể giải được một bài toán. Vì vậy, các bạn cần phải nắm rõ lý thuyết và các dạng bài tập vận dụng về hàm số có tính tuần hoàn để có thể đạt được điểm cao nhất trong kỳ thi và kiểm tra bạn nhé. Hy vọng các thông tin trên đây từ CMath có thể giúp ích được cho bạn, nếu có bất kỳ thắc mắc hay cần tư vấn nào bạn có thể liên hệ trực tiếp với CMath.