Tổng hợp kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn

28/04/2022 - 10:17 AM - 59 Lượt xem

Bắt đầu từ chương trình toán học đại số trung học cơ sở, các bạn học sinh sẽ được học về các loại phương bình, hệ phương trình, bất phương trình khác nhau. Một trong số kiểu phương trình thường gặp nhất các bạn cần phải lưu ý đó chính là phương trình bậc hai một ẩn. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng Cmath tổng hợp tất cả các kiến thức cơ bản nhất về phương trình bậc hai một ẩn nhé.

Định nghĩa về phương trình bậc hai một ẩn

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với a 0  (1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình bậc hai một ẩn với ẩn là x.

Theo công thức nghiệm, ta có: = b2-4ac. Khi đó, ta sẽ được:

  • Nếu > 0 thì phương trình (1) sẽ có hai nghiệm phân biệt:

x1 = – b+ 2a;         x2 = – b- 2a        

  • Nếu = 0 thì phương trình (1) sẽ có nghiệm kép: x = – b2a
  • Nếu < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

Đặc biệt, trong trường hợp b = 2b’, khi đó ta có thể tính ∆’ = b’2-ac

  • Nếu ∆’ > 0 thì phương trình (1) sẽ có hai nghiệm phân biệt:

x1 = – b+ ∆’a;         x2 = – b- ∆’a        

  • Nếu ∆’ = 0 thì phương trình (1) sẽ có nghiệm kép: x = – b’a
  • Nếu ∆’ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

Ứng dụng định lý Vi – ét vào phương trình bậc hai một ẩn

Cho phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 với a 0  (1)

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn hệ thức sau:                x1 + x2 = – ba

                        x1x2 = ca

Dựa vào hệ thức trên, áp dụng định lý Vi – ét, ta có thể tính được các biểu thức đối xứng có chứa x1x2

  • x1 + x2 = – ba
  • x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 – 2x1x2
  • | x1x2 | = ( x1x2 )2 = ( x1+ x2 )2-4x1x2 = b2-4aca2

Lưu ý: Với những dạng này, chúng ta cần phải biến đối biểu thức sao cho làm xuất hiện ( x1 + x2 )x1x2, sau đó mới áp dụng được hệ thức Vi – ét

Định lý Vi – ét đảo:

Giả sử tồn tại hai số thực x1x2 sao cho thỏa mãn:

        S = x1+ x2

        P = x1x2

Khi đó, x1x2 sẽ là hai nghiệm của phương trình X2– SX+ P=0

Một số ứng dụng của định lý Vi – ét vào trong các dạng toán giải phương trình:

Dựa vào định lý Vi – ét, ta có thể nhẩm nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng:

Cho phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 với a 0 (1). 

  • Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có nghiệm x1 = 1 và x2 = ca
  • Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (1)  có nghiệm x1 = – 1 và x2 = – ca

Dựa vào định lý Vi – ét, ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử:

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c. Với P(x) = 0, x1x2 là hai nghiệm của phương trình, thì khi đó, ta có thể phân tích đa thức thành: 

P(x) = a( x – x1)(x – x2)

Dựa vào định lý Vi – ét, ta có thể xác định được dấu của các nghiệm:

Cho phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 với a 0 (1).  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1x2. Áp dụng định lý Vi – ét ta có:

        S = x1+ x2 = – ba

        P = x1x2 = ca

  • Nếu S < 0 thì hai nghiệm x1x2 trái dấu
  • Nếu S > 0 thì hai nghiệm x1x2 cùng dấu
  • Nếu P > 0 thì hai nghiệm x1x2 cùng dương
  • Nếu P < 0 thì hai nghiệm x1x2 cùng âm

Một số dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn

Một số dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn

Dạng 1: Phương trình bậc hai một ẩn không xuất hiện tham số

Phương pháp giải: Để giải được các phương trình bậc hai một ẩn, cách dễ dàng nhất chính là áp dụng công thức tính hoặc ’. Sau đó, áp dụng các điều kiện đối chiếu với công thức nghiệm để tìm ra nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình: x2 – 3x + 2 = 0

Ta có:

= ( -3 )2 – 4. 2 = 1

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt 

x1 = 3+ 12. 1 = 2;    x2 = 3- 12. 1 = 1

Bên cạnh các bài tập về phương trình bậc hai đầy đủ, chúng ta cũng cần phải lưu ý một số trường hợp đặc biệt sau:

Phương trình khuyết hạng tử

Phương trình khuyết hạng tử bậc nhất có dạng: ax2 + c = 0 (1)

Phương pháp giải:

Giải phương trình (1) x2 = – ca

  • Nếu – ca > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x = ca

  • Nếu – ca = 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0
  • Nếu – ca < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

Phương trình khuyết hạng tử tự do có dạng: ax2 + bx = 0 (2)

Giải phương trình (2) x( ax + b ) = 0 

x = 0

x = – ba

Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai:

Phương trình trùng phương ( bậc 4 ): ax4 + bx2 + c = 0 ( với a 0 ) (1)

Phương pháp giải:

Đặt t = x2 ( t 0 ). Khi đó, phương trình (1) sẽ có dạng:

at2 + bt + c = 0 (*)

Giải phương trình (*), đối chiếu điều kiện  t 0

Ví dụ: Giải phương trình sau: 4x4 – 3x2 – 1 = 0

Đặt t = x2 ( t 0 ). Khi đó, phương trình có dạng:

4t2 – 3t – 1 = 0 t = 1

t = – 14

  • Với t = 1  x2 = 1 x = 1
  • Với t = – 14 ( loại ). Do không thỏa mãn điều kiện t 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = -1

Dạng 2: Phương trình bậc hai một ẩn có chứa tham số

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp giải: 

Áp dụng công thức tính , dựa vào dấu của , chúng ta có thể biện luận được phương trình bậc hai một ẩn đã cho có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình theo tham số m: m2 – 5m – m -5 = 0 (*)

Xét m = 0 thì (*) -5x -5 = 0 x = -1

Xét m 0 thì (*) thành phương trình bậc hai theo ẩn x

Ta có: = ( -5 )2 – 4m( – m – 5) = 2m+52

Vì ∆ 0 nên phương trình đã cho luôn có nghiệm:

  • = 0, phương trình đã cho sẽ có nghiệm duy nhất với m = -52
  • > 0, phương trình đã cho sẽ có hai nghiệm phân biệt:

 

x1 = 5+| 2m+5|2m ;    x2 = 5-| 2m+5|2m 

Xác định điều kiện của tham số m để có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Phương pháp giải: 

Để có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài, điều kiện đầu tiên là phương trình bậc hai đã cho phải có nghiệm. Vì vậy, ta có các bước thực hiện như sau:

  • Tính . Tìm điều kiện thỏa mãn để sao cho không âm
  • Dựa vào định ký Vi – ét, ta sẽ có các hệ thức liên quan tới tổng và tích. Từ đó, biện luận phương trình theo yêu cầu của đề bài đã cho

Ví dụ: Cho phương trình sau: x2 + mx + m + 3 = 0 (*). Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài: x12 + x22 = 9

Ta có: = m2 – 4( m + 3) 

Để phương trình (*) có nghiệm thì 0

Với x1x2 là hai nghiệm của phương trình, áp dụng định lý Vi – ét ta sẽ có:

         x1+ x2 = -m

         x1x2 = m + 3

Lại có: x12 + x22 = ( x1+x2) 2 – 2x1x2 = (-m) 2 – 2(m + 3) = m2 – 2m – 6

Yêu cầu đề bài có: x12 + x22 = 9 m2 – 2m – 6 = 9

m = 5

m = – 3

Thử lại:

Với m = 5 thì = -7 < 0 ( loại )

Với m = – 3 thì = 9 > 0  ( thỏa mãn )

Vậy với m = -3 phương trình đã cho thỏa mãn yêu cầu đề bài

Công thức nghiệm phương trình bậc hai một ẩn

Kết luận 

Trên đây là tổng hợp những kiến thức các bạn học sinh cần lưu ý về phương trình bậc hai một ẩn. Hy vọng, qua những lý thuyết này, Cmath sẽ cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức để các bạn có thể nắm vững và áp dụng nhuần nhuyễn vào các dạng bài tập sẽ gặp về phương trình bậc hai một ẩn trong các bài thi sắp tới. 

>>> Tham khảo thêm:

Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn