Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

30/04/2022 - 02:38 PM - 58 Lượt xem

Hàm số bậc 2 là chuyên đề mà các bạn học sinh đã được học trong chương trình trung học cơ sở, tuy nhiên hàm số này tiếp tục xuất hiện trong các bài toán nâng cao hơn tại cấp trung học phổ thông và các bài thi chuyển cấp. Vì vậy đây là kiến thức vô cùng quan trọng và cần thiết. Bài viết sau đây của CMath sẽ tổng hợp tất tần tật các thông tin về hàm số để các bạn có thể tham khảo và học tốt hơn nhé.

Lý thuyết về hàm số bậc 2

Tìm hiểu lý thuyết về hàm số bậc 2 và đồ thị của hàm số ngay sau đây để có cái nhìn tổng quan và dễ hiểu hơn các bạn nhé.

Hàm số bậc 2

Định nghĩa

  • Hàm số bậc 2 có công thức như sau: y=ax2+bx+c (a0).
  • Tập xác định D=R và biệt thức =b2-4ac.

Chiều biến thiên

  • Nếu a>0 thì hàm số y=ax2+bx+c:
  • Nghịch biến trên ;-b2a
  • Đồng biến trên b2a;+
  • Hàm số có điểm cực tiểu là b2a;-4a
  • Nếu  a<0 thì hàm số y=ax2+bx+c:
  • Nghịch biến trên b2a;+
  • Đồng biến trên ;-b2a
  • Hàm số có điểm cực đại là b2a;-4a

Bảng biến thiên

Bảng biến thiên và đồ thị hàm số bậc 2

Đồ thị hàm số bậc 2

Đồ thị hàm số y=ax2+bx+c (a0) là đường parabol có:

  • Đỉnh là điểm b2a;-4a
  • Trục đối xứng là đường thẳng x=-b2a
  • Bề lõm của Parabol quay xuống nếu a<0 và quay lên trên nếu a>0
  • Giao điểm với trục tung: A(O;c)
  • Hoành độ giao điểm với trục hoành (nếu có) là nghiệm của phương trình y=ax2+bx+c.

Cách vẽ

Cách 1: Dùng cho tất cả trường hợp

  • Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh I
  • Bước 2: Vẽ trục đối xứng
  • Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của Parabol với trục tung (Oy) và trục hoành (Ox) (nếu có).
  • Bước 4: Vẽ Parabol.

Cách 2: sử dụng khi đã có đồ thị của hàm số y=ax2

  • Đồ thị hàm số y=ax2+bx+c (a0) suy ra từ đồ thị hàm số y=ax2  bằng cách:
  • Tịnh tiến song song với trục hoành b2a đơn vị về bên trái nếu b2a>0, bên phải nếu b2a<0.
  • Tịnh tiến song song với trục tung 4a đơn vị lên trên nếu 4a>0, xuống dưới nếu 4a<0.

Các dạng bài tập thường gặp nhất về hàm số bậc 2

Sau đây là 2 dạng bài quen thuộc cùng với các bài tập ví dụ giúp các bạn dễ dạng ghi nhớ và hiểu bài sâu hơn.

Dạng bài tập về khảo sát hàm số bậc 2

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ các đồ thị bên dưới

  1. y=3x2-4x+1
  2. y=-x2+4x-4

Hướng dẫn giải

  1. a) y=3x2-4x+1
  • Tập xác định D=R.
  • Tính biến thiên
  • 3>0 nên hàm số đồng biến trên (23;+) và nghịch biến trên (-;23).
  • Vẽ bảng biến thiên
  • Vẽ đồ thị
  • Tọa độ đỉnh (23;-13)
  • Trục đối xứng x=23
  • Điểm giao đồ thị với trục hoành Ox: giải phương trình y=03x2-4x+1=0 ta được x=1 hoặc x=13

Giao điểm là (1;0)(13;0)

  • Điểm giao đồ thị với trục tung Oy: cho x=0, suy ra y=1

Giao điểm là (0;1)

Bảng biến thiên và đồ thị hàm số bậc 2 ví dụ 1a

  1. b) y=-x2+4x-4
  • Tập xác định D=R.
  • Tính biến thiên
  • -1<0 nên hàm số đồng biến trên (-;2) và nghịch biến trên (2;+).
  • Vẽ bảng biến thiên
  • Vẽ đồ thị
  • Tọa độ đỉnh (2;0)
  • Trục đối xứng x=2
  • Điểm giao đồ thị với trục hoành Ox: giải phương trình y=0x2+4x-4=0 ta được x=2

Giao điểm là (2;0)

  • Điểm giao đồ thị với trục tung Oy: cho x=0, suy ra y=-4

Giao điểm là (0;-4)

Bảng biến thiên và đồ thị hàm số bậc 2 ví dụ 1b

Ví dụ 2: Xác định hệ số a, b, c để đồ thị hàm số y=ax2+bx+c thỏa mãn đồ thị đi qua điểm (-1;4) và có đỉnh là (-2;1).

Hướng dẫn giải

  • Ta có:
  • Một điểm (x0;y0) thuộc đồ thị hàm số y=f(x) y0=f(x0)
  • Đỉnh của một hàm số y=ax2+bx+c có dạng I(-b2a;-4a) với =b2-4ac
  • Từ 2 ý trên ta được:
  • (-1;4) đồ thị, suy ra 4=a-b+c  (1)
  • (-2;1) đồ thị, suy ra -1=4a-2b+c  (2)
  • (-2;1) là đỉnh của đồ thị nên -b2a=-24a-b=0  (3)

Từ (1), (2), (3) Hàm số cần tìm là y=5x2+20x+19.

Dạng bài tập về tương giao giữa đồ thị hàm số bậc 2 và hàm số bậc 1

Phương pháp giải bài tập tương giao của 2 đồ thị hàm số, ví dụ là CC’.

  • Lập phương trình hoành độ giao điểm của 2 hàm số CC’.
  • Giải phương trình để tìm x. Giá trị hoành độ giao điểm là các giá trị x vừa tìm được.
  • Số nghiệm x là số giao điểm giữa CC’.

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+2x-3 và trục Ox.

Hướng dẫn giải

  • Phương trình hàm số thứ nhất y=x2+2x-3.
  • Phương trình trục hoành (trục Ox) là y=0.
  • Phương trình hoành độ giao điểm: x2+2x-3=0 x=1x=-3.

Vậy đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm (1:0)(1;-3).

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x2+mx+5 có đồ thị (C). Xác định tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với đường thång y=1.

Hướng dẫn giải:

  • Phương trình hoành độ giao điểm: x2+mx+5=1 x2+mx+4=0(1).
  • Để hàm số (C) có thể tiếp xúc với đường thẳng y=1 thì phương trình (1) phải có nghiệm kép. Suy ra: =0m2-16=0m=4 hoặc m=-4.

Vậy ta có 2 hàm số thỏa điều kiện y=x2+4x+5 hoặc y=x2-4x+5.

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x2+3x-m có đồ thị (C). Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm?

Hướng dẫn giải:

  • Ta có thể sử dụng hệ thức Viet trong trường hợp này. Xét phương trình bậc 2 ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1, x2. Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức: x1+x2=-ba x1.x2=ca.
  • Ta lập phương trình hoành độ giao điểm x2+3x-m=-xx2+4x-m=0  (1).
  • Để (C) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt âm.
  • Điều kiện để có 2 nghiệm phân biệt: >016+4m>0m>-4.
  • Điều kiện để 2 nghiệm âm: 

x1+x2<0 x1.x2>0 

-4<0 -m>0 

m<0

Vậy bài toán thỏa khi 0>m>-4.

Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số y=f(x)=ax2+2x-7  (P).

Tìm a để đồ thị (P) đi qua A(1, -2).

Bài tập 2: Cho hàm số y=f(x)=ax2+bx+c  (P).

Tìm a, b, c để đồ thị (P) đi qua A(-1,4) và có đỉnh S(-2,-1).

Bài tập 3: Lập bảng biến thiên, sau đó vẽ đồ thị các hàm số sau đây:

  1. y=3x2-4x+1
  2. y=-x2-4x-4

Bài tập 4: Cho hàm số y = x2 – 6x + 8

  1. Lập bảng biến thiên, sau đó vẽ đồ thị hàm số.
  2. Sử dụng đồ thị để biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng y=m và đồ thị hàm số đã cho.
  3. Sử dụng đồ thị, nêu các khoảng mà trên đó hàm số nhận giá trị dương.
  4. Sử dụng đồ thị, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 5].

Bài tập 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

  1. y=2xx+2
  2. y=x+1+1-x

Bài tập 6: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

  1. y=3x2-2
  2. y=1x
  3. y=x

Bài tập 7: Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị d:y=x-1(P):y=x2-2x-1.

Bài tập 8: Lập bảng biến thiên của hàm số, sau đó vẽ đồ thị của hàm số y=x2-4x+3.

Học online chương trình hàm số tại CMath

Việc tự học toán tại nhà mang lại nhiều lợi ích cho các bạn, cải thiện tính kỷ luật. Nhưng nếu có sự hướng dẫn, giúp đỡ thì chất lượng học tập cũng sẽ tốt hơn. Nếu các bậc phụ huynh đang tìm kiếm một môi trường luyện thi chất lượng thì đừng bỏ qua CMath Education.

CMath có lịch trình các khóa học và kỳ thi rõ ràng, chi tiết. Sau một thời gian học, các bạn học sinh sẽ được kiểm tra định kỳ và công bố kết quả theo từng buổi, từng kỳ thi để phụ huynh nắm rõ hơn về kỹ năng và học sinh.

Quý phụ huynh và học sinh có thể hoàn toàn yên tâm về chất lượng giảng dạy, cũng như đội ngũ  giáo viên, trợ giảng, chủ nhiệm lớp. Các giáo viên ở đây là những giáo viên lâu năm trong lĩnh vực giáo dục với chương trình đào tạo được chọn lọc và biên soạn đặc biệt, từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp với khả năng học tập của từng học sinh.

Kết luận

Sau khi đã củng cố xong tất tần tật các kiến thức quan trọng về hàm số bậc 2 các bạn học sinh có thể nhận thấy đây là chuyên đề không hề khó, nhưng lại là kiến thức nền tảng của rất nhiều bài tập nâng cao sau này. Các bạn được học về hàm số bậc 2 cơ bản ở cấp trung học cơ sở, tuy nhiên khi lên cấp trung học phổ thông các bạn sẽ được học chuyên sâu hơn. Vì vậy ngay từ bây giờ hãy giải thật nhiều bài tập, làm quen với các dạng bài khác nhau để nắm vững kiến thức bạn nhé.

Nếu có bất kỳ khó khăn hay thắc mắc nào trong quá trình học tập, hãy liên hệ CMath để được hỗ trợ và tư vấn sớm nhất.

Trên đây CMath đã tổng hợp mọi thông tin chi tiết về hàm số bậc 2 là gì cũng như những bài tập vận dụng giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức. Hy vọng bài viết hữu ích, giúp các bạn có thêm hứng thú và yêu thích việc học môn toán.

>>> Có thể bạn quan tâm:

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số đơn giản, dễ hiểu

Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn