Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học

30/04/2022 - 04:04 PM - 114 Lượt xem

Hàm số và đồ thị hàm số bậc 3 là kiến ​​thức nền tảng và là chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THCS. Vì vậy hôm nay Câu lạc bộ toán học muôn màu – CMath xin gửi đến các bạn học sinh bài viết về ứng dụng đồ thị bậc 3 trong giải toán. Đây là một trong những dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề thi cuối kỳ cũng như các bài tuyển sinh vào lớp 10.

Lý thuyết về đồ thị hàm số bậc 3

Cùng CMath tìm hiểu về lý thuyết đồ thị hàm số bậc 3 đầy đủ nhất sau đây nhé.

Các bước khảo sát hàm số bất kì

Xét hàm số y=f(x), để khảo sát hàm số, ta thực hiện như sau:

  • Tìm tập xác định của hàm số.
  • Xét sự biến thiên của hàm số.
  • Tìm đạo hàm của y’.
  • Tìm ra các điểm làm y’=0 hoặc làm y’ không xác định.
  • Xét dấu của y’, từ đó kết luận chiều biến thiên của hàm số.
  • Xác định cực trị của hàm số, giới hạn của hàm số và vẽ bảng biến thiên.
  • Vẽ đồ thị của hàm số y=f(x).

Khảo sát hàm số bậc 3

Cho hàm số bậc 3 có dạng: y=ax3+bx2+cx+d (a0).

  • Tập xác định: D=R.
  • Sự biến thiên của hàm số:
  • Đạo hàm: y’=3ax2+2bx+c.
  • Giải phương trình y’=0.
  • Xét dấu y’, suy ra chiều biến thiên.
  • Tìm giới hạn của hàm số. Lưu ý rằng hàm số bậc 3 nói riêng và các hàm đa thức nói chung không tồn tại tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
  • Vẽ bảng biến thiên.
  • Vẽ đồ thị: tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị, thông thường sẽ là giao điểm của đồ thị với trục tung (Oy) và trục hoành (Ox).
  • Khi nhận xét đồ thị, chú ý rằng đồ thị hàm số bậc 3 nhận 1 điểm làm tâm đối xứng, được gọi là điểm uốn của đồ thị bậc 3 (điểm này là nghiệm của phương trình y”=0).

Các dạng đồ thị hàm số bậc 3

Cho hàm số bậc 3 có dạng như sau: y=ax3+bx2+cx+d (a0).

Đạo hàm: y’=3ax2+2bx+c.

Ta có các trường hợp các đồ thị bậc 3 sau đây:

Các dạng đồ thị hàm số bậc 3

Các bài toán ứng dụng đồ thị hàm số bậc 3

Ví dụ 1: Khảo sát đồ thị của hàm số bậc 3: y=x3+3x2-4.

Hướng dẫn giải: Thực hiện các bước sau:

  • Tìm tập xác định D=R.
  • Sự biến thiên của hàm số:
  • Giải phương trình đạo hàm y’=03x2+6x=0x=0x=-2.
  • Trong khoảng ;-20;+, y’>0 nên y đồng biến ở 2 khoảng này.
  • Trong khoảng -2;0, y'<0 nên y nghịch biến ở 2 khoảng này.
  • Tìm giới hạn: x+y=+; xy=-.
  • Vẽ bảng biến thiên:
  • Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại yCD=0.
  • Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực đại yCD=-4.
  • Vẽ đồ thị:

Xác định điểm đặc biệt:

  • Giao điểm của đồ thị với trục hoành (trục Ox) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm y=0 hay x3+3x2-4=0 x=1x=-2.

Vậy giao điểm với trục hoành là -2;0(1;0).

  • Giao điểm của đồ thị với trục tung (trục Oy), ta thế x=0 vào hàm số y được y=-4.

Vậy giao điểm với trục tung là 0;-4.

  • Điểm uốn: y”=06x=0x=-1y=-2.

Vậy điểm uốn của đồ thị là -1;2.

Ta có được đồ thị như sau:

Bảng biến thiên và đồ thị hàm số bậc 3 ví dụ 1

Ví dụ 2: Tìm hàm số có đồ thị là hình vẽ được cho dưới đây:

Bài tập ví dụ về đồ thị hàm số bậc 3

  1. y=x3-3x+1
  2. y=-x3+3x2+1
  3. y=-x3+x2+3
  4. y=x3-3x2+3x+1

Hướng dẫn giải:

  • Dựa vào dạng đồ thị đã cho, ta biết được a>0 loại B,C
  • Hàm số không có cực trị loại A

Chọn đáp án D.

Nhận xét: có thể lý luận theo cách sau: hàm số đi qua 0;1, vì vậy đáp án C bị loại. Hàm số đi qua 1;2 nên loại cả 2 đáp án A và B.

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc 3 y=ax3+bx2+cx+d (a0), có đồ thị như sau và chọn đáp án đúng:

Ví dụ về đồ thị hàm số bậc 3

  1. a<0, b>0, c>0, d>0
  2. a<0, b<0, c=0, d>0
  3. a>0, b<0, c>0, d<0
  4. a<0, b>0, c=0, d>0

Hướng dẫn giải:

  • Nhìn vào đồ thị cho trước ta nhận thấy được a<0.
  • Khi thay x=0 ta được y=d. Điểm (0;d) là giao điểm của đồ thị và trục tung Oy, vì vậy d>0.
  • Ta có y’=3ax2+2bx+c hàm số đạt cực tiểu x=0, suy ra c=0 loại A.
  • y’=0, suy ra x=0 hoặc x=-2b3a. Nhìn vào đồ thị ta thấy hoành độ điểm cực đại dương  -2b3a>0, kết hợp với a<0 ta suy ra b>0

Đáp án đúng là D.

Ví dụ 4: Cho hàm số bậc 3 y=ax3+bx2+cx+d (a0). Xét 4 đồ thị sau:

Chọn mệnh đề đúng sau đây:

  1. 1. Khi a>0f'(x)=0 có nghiệm kép, đồ thị hàm số sẽ là (IV).
  2. Khi a0f'(x)=0 tồn tại hai nghiệm phân biệt thì đồ thị (II) xảy ra.
  3. Đồ thị (I) khi a<0f'(x)=0  tồn tại hai nghiệm phân biệt.
  4. Đồ thị (III) khi a>0f'(x)=0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

  • Đồ thị (I) khi a>0, loại C.
  • Đồ thị (II) khi a<0, loại B.
  • Đồ thị (III) xảy ra khi a>0, f'(x)=0 vô nghiệm.
  • Đồ thị (IV) xảy ra khi a<0, loại A.

Kết hợp sự phân tích trên, đáp án chính xác là đáp án D.

Bài toán về hàm số bậc 3 thường gặp trong kỳ thi THPT quốc gia

Bài tập 1: Cho hàm số y=13(m-1)x3+mx2+(3m-2)x  (1)

  1. 1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=2.
  2. 2) Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định.

Bài tập 2: Cho hàm số y=x+3x2-mx – 4  (1)

  1. Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=0.
  2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-;0).

Bài tập 3: Cho hàm số y=2x3– 3(2m +1)x2+6m(m+1)x+1 có đồ thị (Cm).

  1. Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số khi m=0.
  2. Tìm gia giá trị của m để hàm số đồng biến trên (2;+).                   

Bài tập 4: Cho hàm số y=x3+(1– 2m)x²+(2-m)x+m+2

  1. Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số khi m=1.
  2. Tìm giá trị của m để hàm số y đồng biến trên (0;+).

Bài tập 5: Cho hàm số y=x3+3x2+mx+m  (1)

  1. Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số (1) khi  m=3.
  2. Tìm giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Bài tập 6: Cho hàm số y=-2x3+3mx2-1  (1).

  1. Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số khi m=1.
  2. Tìm giá trị m để hàm số (1) đồng biến trên (x1;x2) với x2x1=1.

Bài tập 7: Cho hàm số y=2x2-3x+mx-1  (2).

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên 2;+.

Bài tập 8: Cho hàm số y=2x2-3x+mx-1  (2).

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên 1;2.

Bài tập 9: Cho hàm số y=x2-2mx+3m22m-x  (2).

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên 1;+.

Bài tập 10: Cho hàm số y=x2-2mx+3m22m-x  (2).

Tìm m để hàm số (2)  đồng biến trên ;1.

Học toán cùng Câu lạc bộ toán học muôn màu – CMath

Câu lạc bộ toán học muôn màu – CMath là nơi rèn luyện, đào tạo, đánh thức tiềm năng và niềm đam mê toán học trong các bạn trẻ. CMath luôn hỗ trợ quý phụ huynh đồng hành cùng con em của mình trên con đường phát triển tư duy, rèn luyện các kỹ năng cần thiết.

Khi đến với CMath, phụ huynh và học sinh có thể hoàn toàn có thể tin tưởng về chất lượng giảng dạy cũng như đội ngũ giáo viên, trợ giảng, chủ nhiệm lớp tại CMath. Tại đây, CMath luôn dành cho các bạn học sinh sự quan tâm tận tình, chăm sóc đặc biệt, đảm bảo quá trình học tập được diễn ra thoải mái, tạo cảm giác hứng thú và yêu thích môn học.

Kinh nghiệm giảng dạy dày dặn của đội ngũ giáo viên lâu năm trong lĩnh vực giáo dục cũng như chương trình đào tạo được chọn lọc và biên soạn từ cơ bản đến nâng cao.

Khi cho con trẻ theo học tại Câu lạc bộ toán học muôn màu – CMath, quý phụ huynh hoàn toàn có thể an tâm khi biết con mình được giáo dục trong môi trường tốt nhất. Tỷ lệ học sinh học tại CMath đậu vào các trường chuyên phổ thông tại Hà Nội lên đến hơn 92%. Ngoài ra quý phụ huynh được đảm bảo hoàn tiền khi cho con em ngừng học vì bất kỳ lý do gì.

Kết luận

Đồ thị hàm số bậc 3 là chương trình quan trọng đối với các bạn học sinh cấp trung học cơ sở. Và hơn hết, kiến thức nền tảng này sẽ theo các bạn đến lúc thi trung học phổ thông quốc gia. Chính vì thế hãy học tập thật nghiêm túc, thông thạo những kiến thức nền tảng và cố gắng giải thật nhiều bài tập liên quan đến hàm số bậc 3 để cải thiện khả năng giải toán các bạn nhé. Nếu muốn được đào tạo bài bản và ôn luyện theo lộ trình độc quyền được sắp xếp một cách tư duy logic thì nhanh tay đến với CMath và đăng ký học thôi nào.

Trên đây là tổng hợp của CMath về đồ thị hàm số bậc 3. Hy vọng đây sẽ là tài liệu ôn tập hữu ích cho bạn học sinh trong các kì thi sau này. Đồng thời khi đọc xong bài viết các bạn sẽ củng cố lại kiến ​​thức và rèn luyện tư duy giải dạng toán về đồ thị hàm số. Có thể tham khảo thêm các bài viết hữu ích khác trên CMath các bạn nhé.

>>> Có thể bạn quan tâm:

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số đơn giản, dễ hiểu

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn