• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác

29/08/2022 - 02:04 PM - 801 Lượt xem

Toán lớp 7 được cho là chương trình cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất để học sinh phát triển khả năng tư duy và là nền móng cho chương trình toán ở các cấp lớn hơn. Bài viết dưới đây, Cmath đề cập đến một lý thuyết quan trọng nữa ở chương trình Toán 7 đó chính là đường trung tuyến của tam giác. Hãy cùng nhau đi tìm hiểu về chủ đề thú vị này nhé!

Đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến của một tam giác được định nghĩa là đoạn thẳng nối từ đỉnh của một tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Chính vì vậy, với mỗi tam giác bất kỳ, chúng ta sẽ có ba đường trung tuyến tới từ ba đỉnh.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BM = MC.

Đoạn thẳng AM gọi là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A (hoặc đường trung tuyến ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.

Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường thẳng trung tuyến của tam giác ABC.

Tương tự:

  • Đoạn thẳng nối đỉnh B của tam giác ABC với trung điểm N của cạnh AC cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
  • Đoạn thẳng nối đỉnh C của tam giác ABC với trung điểm P của cạnh AB cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ví dụ 2. Tam giác DEF có trung điểm của các cạnh DE, EF, DF lần lượt là H, I, K.

Khi đó, các đoạn thẳng (hay đường thẳng) DI, EK, FH là 3 đường trung tuyến của tam giác ABC.

Trong đó:

  • DI là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D hay đường trung tuyến ứng với cạnh EF.
  • EK là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh E hay đường trung tuyến ứng với cạnh DF.
  • FH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh F hay đường trung tuyến ứng với cạnh DE.

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác gặp nhau tại một điểm. Khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ: Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AD, BE, CF cùng đi qua điểm G (hay còn gọi là đồng quy tại điểm G)

Khi đó, ta có: GA/DA = GB/EB = GC/FC = 2/3.

Điểm G khi đó được gọi là trọng tâm.

Chú ý:

  • Trong tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh, ứng với cạnh huyền có độ dài bằng một nửa cạnh huyền.
  • Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì có độ dài bằng nhau.
  • Ba đường trung tuyến trong tam giác đều thì có độ dài bằng nhau.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Đáp án nào sau đây là đúng về tính chất ba đường trung tuyến trong một tam giác.

A. Số lượng đường trung tuyến trong một tam giác là 3.

B. Một tam giác chỉ có 2 đường trung tuyến.

C. Một tam giác có 2 trọng tâm.

D. Các đường trung tuyến trong một tam giác không cắt nhau.

Đáp án: A.

Câu 2. Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là gì?

A. Trực tâm.

B. Trọng tâm.

C. Tâm đường tròn nội tiếp.

D. 1 điểm bất kỳ.

Đáp án: B

Câu 3. Khoảng cách từ trọng tâm của một tam giác đến mỗi đỉnh của tam giác ấy là?

A. 1/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh ấy.

B. 1/4 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh ấy.

C. 2/3 độ dài trung tuyến ứng với đỉnh ấy.

D. 2/5 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh ấy.

Đáp án: C

Câu 4. Các đường trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại điểm G. Gọi E là trung điểm của BC. IG bằng?

A. 2/3 AE

B. 1/3 AE

C. 1/3 AB

D. 1/4 AC

Đáp án: B

Câu 5. Giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác MNE là G. O là trung điểm của NE. Trong các khẳng định dưới đây, đâu là khẳng định đúng?

A. MG/MO = 2/3

B. MG/MO = 1/3

C. MG/GO = 1/3

D. MG/MO = 1

Đáp án: A

Câu 6. Hai đường trung tuyến AE và BF của tam giác ABC cắt nhau tại I. Cho hai điểm M và N lần lượt là trung điểm IA và IB. Trong các khẳng định dưới đây, đâu là khẳng định đúng?

A. IN = IM

B. IE = IB

C. AI = BI

D. IN = IF

Đáp án: D

Câu 7. Tam giác ABC có góc A = 90o. F là trung điểm của cạnh BC. Độ dài AF bằng?

A. AF = 1/2BC

B. AF = 1/2AB

C. AF = 1/2AC

D. AF = 1/3BC

Đáp án: A

Câu 8. Tam giác ABC là tam giác đều. G là trọng tâm tam giác thì G đồng thời cũng là?

A. Trực tâm

B. Tâm đường tròn nội tiếp

C. Tâm đường tròn ngoại tiếp

D. Cả 3 đáp án trên

Đáp án: D

Bài tập tự luận

Dưới đây là một số dạng bài cơ bản liên quan đến đường trung tuyến của tam giác. Hãy cùng tìm hiểu nhé.

Dạng 1. Tìm tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp: Dựa vào vị trí trọng tâm của tam giác

Ví dụ: Với G là trọng tâm của tam giác ABC, AD, BE, CF là ba đường trung tuyến ta có:

CG = 2/3CF; BG = 2/3BE; AG = 2/3AD.

Bài 1. Tam giác ABC có độ dài đường trung tuyến AM = 13,5cm. G là trọng tâm tam giác. Tính độ dài đoạn thẳng AG.

Lời giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên theo tính chất đường trung tuyến ta có:

AG = 2/3AM

=> AG = 2/3.13,5 = 9 (cm)

Bài 2. Hai đường trung tuyến BD, CE của tam giác ABC vuông góc với nhau. Biết BD = 4,5cm, CE = 6cm. Tính độ dài cạnh BC.

Lời giải:

Gọi G là giao điểm của 2 trung tuyến BD, CE thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó, ta có:

BG = 2/3BD = 2/3.4,5 = 3 (cm)

CG = 2/3CE 2/3.6 = 4 (cm)

Mặt khác, do BD 丄 CE tại G nên tam giác GBC vuông tại G

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: GB2 + GC2 = BC2

=> BC2 = 32 + 42 = 25

=> BC = 5 (cm)

Vậy độ dài của cạnh BC là 5cm.

Dạng 2. Đường trung tuyến trong các tam giác đặc biệt (tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp:

  • Trong tam giác cân (hoặc tam giác đều) đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh, ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
  • Trong tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông, ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa cạnh huyền.

Bài 3. Cho tam giác vuông tại ABC có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến đỉnh A.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A có:

BC2 = AB2 + AC2 

=> BC2 = 32 + 42 = 25

=> BC = 5 (cm)

Gọi M là trung điểm của BC => AM là đường trung tuyến trung tuyến ứng với cạnh BC.

Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên ta có: AM = 1/2BC = 5/2 = 2,5 (cm)

Vì tam giác ABC nhận G là trọng tâm nên:

AG = 2/3AM = 2/3.2,5 = 5/3 (cm) 

Bài 4. Các đường trung tuyến của tam giác đều ABC cắt nhau tại điểm G. Chứng minh rằng: GA = GB = GC.

Lời giải:

Gọi trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là M, N, P

Khi đó, AM, BN, CP đồng quy tại G

Tam giác ABC là tam giác đều nên dựa vào tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều ta có: AM = BN = CP (1)

Vì tam giác ABC nhận điểm G là trọng tâm nên ta có: 

GA = 2/3AM; GB = 2/3BN; GC = 2/3CP (2)

Từ (1) và (2) ta được: GA = GB = GC

=> Điều phải chứng minh.

Tham khảo thêm:

Toán 7 – Góc ở vị trí đặc biệt và tia phân giác của một góc

Toán 6 – Ôn lại kiến thức về phân số

Toán 8 – Khái niệm về hai tam giác đồng dạng

Tạm kết

Bài viết trên đã giúp các em củng cố các kiến thức về đường trung tuyến của tam giác cũng như tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác. Hy vọng bài viết sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan đến lý thuyết này. Chúc các em học tốt môn Toán và hãy nhớ theo dõi những bài viết tiếp theo của Cmath nhé!