Phân số là một khái niệm hoàn toàn mới các em được tiếp xúc ở năm học đầu tiên của khối THCS. Để làm được các bài tập liên quan đến lý thuyết này, các em cần nắm chắc những kiến thức cơ bản về phân số. Hãy cùng Cmath tìm hiểu qua bài viết dưới đây.
Tổng quan về phân số
Trước khi nghiên cứu các vấn đề nâng cao về lý thuyết này, các em phải hiểu rõ phân số là gì? Có những tính chất nào?
Khái niệm
Một phân số bao gồm hai thành phần cơ bản là: tử số và mẫu số được phân cách nhau bởi dấu gạch ngang. Trong đó tử số là một số tự nhiên được viết ngay bên trên dấu gạch ngang, mẫu số được viết dưới dấu gạch ngang và là số tự nhiên khác 0.
Cách đọc: Ta đọc tử số trước, đọc mẫu số sau, ở giữa dấu gạch ngang đọc là “phần”.
Ví dụ: Phân số ⅛ có 1 là tử số và 8 đóng vai trò là mẫu số và được đọc là một phần tám.
Chú ý:
- Ta có thể viết phép chia giữa hai số tự nhiên dưới dạng một phân số. Trong đó tử số chính là số bị chia. Mẫu số đóng vai trò là số chia.
Ví dụ: 5 : 9 = 5/9
Đối với phép chia 5 chia cho 9, ta viết là 5/9. Trong đó: 5 là số bị chia đưa lên làm tử số, 9 là số chia sẽ trở thành mẫu số.
- Mọi số tự nhiên đều có thể được viết dưới dạng phân số. Trong đó, số tự nhiên đó sẽ đóng vai trò làm tử số, mẫu số trong trường hợp này bằng 1.
Ví dụ: 6 = 6/1; 15 = 15/1.
- Số 1 luôn luôn có thể đưa về dạng PS với tử và mẫu bằng nhau và khác 1.
Ví dụ: 1 = 4/4; 1 = 3/3.
- Số 0 khi viết thành PS sẽ có tử số bằng 0 và mẫu số là một số bất kỳ luôn khác 0.
Ví dụ: 0 = 0/5; 0 = 0/12.
Tổng quan về phân số
Hai phân số bằng nhau khi nào?
Ta nói rằng hai phân số: a/b và c/d bằng nhau. Khi và chỉ khi tích chéo của chúng bằng nhau: a.d = b.c.
Trong đó: các số a, b, c, d là những số nguyên và b, d luôn khác 0.
Ví dụ 1:
-4/9 = -8/18 vì: (-4).18 = 9.(-8) = -72
-3/4 = 6/-8 vì: (-3).(-8) = 4.6 = 24
Ví dụ 2: Tìm các số nguyên x và y biết:
a) x/7 = 6/21
b) -5/y = 20/28
Lời giải:
a) x/7 = 6/21
Ta có: x/7 = 6/21 khi và chỉ khi: x.21 = 6.7 hay 21x = 42
Suy ra: x = 42 : 21 = 2
b) -5/y = 20/28
Ta có: -5/y = 20/28 khi và chỉ khi: (-5).28 = y.20 hay 20y = -140
Suy ra: y = (-140) : 20 = -7.
Tính chất cơ bản của phân số
Hai tính chất cơ bản:
- Khi nhân cùng một số tự nhiên khác 0 với đồng thời cả tử và mẫu của một phân số, ta được một phân số mới đúng bằng phân số ban đầu.
- Khi chia đồng thời cả tử và mẫu của một PS cho cùng một số (thuộc N*) thì ta thu được một phân số mới bằng phân số đã cho.
Ví dụ:
3/4 = (3.2)/(4.2) = 6/8.
12/20 = (12 : 4)/(20 : 4) = 35.
Khái niệm quy đồng mẫu phân số
Trường hợp 1: Mẫu số chung bằng tích của hai mẫu số của hai PS đã cho.
- Bước 1: Lấy cả tử và mẫu của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.
- Bước 2: Lấy cả tử và mẫu của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất.
Trường hợp 2: Mẫu số của một trong các phân số chia hết cho mẫu số của các PS còn lại.
- Bước 1: Tìm mẫu số chung chính bằng mẫu số của phân số chia hết cho các mẫu số còn lại.
- Bước 2: Chia mẫu số chung cho từng mẫu để tìm thừa số phụ.
- Bước 3: Ta nhân cả tử và mẫu của các PS còn lại với thừa số phụ vừa tìm được.
- Bước 4: Với phân số có mẫu là mẫu số chung, ta giữ nguyên PS đó.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Quy đồng mẫu số hai PS sau: 3/4 và 7/3
Lời giải:
Ta có mẫu số chung = 3.4 = 12
3/4 = (3.3)/(4.3) = 9/12
7/3 = (7.4)/(3.4) = 28/12
Ví dụ 2: Quy đồng mẫu số hai PS sau: 15/16 và 3/8.
Lời giải:
Ta có mẫu số chung = 16
15/16 = 15/16.
3/8 = (3.2)/(8.2) = 6/16
Phép cộng và phép trừ hai phân số
Trường hợp cùng mẫu số
Quy tắc: Muốn cộng, trừ hai PS có cùng mẫu số ta cộng, trừ hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ: Thực hiện phép toán dưới đây:
a) 2/9 + 5/9
b) 13/15 – 7/15
Lời giải:
a) 2/9 + 5/9 = (2 + 5)/9 = 7/9
b) 13/15 – 7/15 = (13 – 7)/15 = 6/15
Trường hợp khác mẫu số
Quy tắc: Muốn cộng, trừ hai PS khác mẫu số, trước tiên, ta tiến hành quy đồng hai PS đó trước, sau đó tiến hành cộng, trừ các PS cùng mẫu số vừa tìm được.
Ví dụ: Thực hiện phép toán dưới đây:
a) 3/4 + 2/3
b) 5/6 – 7/5
Lời giải:
a) 3/4 + 2/3
Ta có: Mẫu số chung = 12 nên sau khi quy đồng mẫu số hai PS ta được:
3/4 = 9/12; 2/3 = 8/12
Suy ra:
3/4 + 2/3= 9/12 + 8/12 = (8 + 9)/12 = 17/12.
b) 5/6 – 7/5
Làm tương tự câu a ta có:
5/6 – 7/5 = 25/30 – 42/30 = (25 – 42)/30 = -17/30.
Phép cộng và phép trừ hai phân số
Phép nhân và phép chia hai phân số
Phép nhân
Quy tắc: Muốn thực hiện phép nhân giữa hai phân số, ta lấy tử nhân tử và mẫu nhân mẫu.
Ví dụ: Thực hiện phép nhân dưới đây:
a) 2/3 . 5/9
b) 3/4 . 5/9
Lời giải:
a) 2/3 . 5/9 = (2.5)/(3.9) = 10/27.
b) 3/4 . 5/9 = (3.5)/(4.9) = 15/36 = 5/12.
Lưu ý:
- Sau khi thực hiện khi thực hiện phép nhân, nếu thu được PS chưa tối giản thì ta phải rút gọn về dạng tối giản.
- Sau bước lấy tử nhân với nhau, mẫu nhân với nhau, ta có thể rút gọn trực tiếp ở bước này, không cần nhân lên rồi mới rút gọn.
Ví dụ 2: Một hình bình hành có độ dài đáy là 9/4 cm, chiều cao tương ứng là 3/5 cm. Tính S của hình bình hành.
Lời giải:
Shbh = 9/4 . 3/5 = (9.3)/(4.5) = 27/20 (cm2).
Phép nhân hai phân số
Phép chia
Quy tắc: Muốn thực hiện phép chia phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với đảo ngược của phân số thứ hai.
Trong đó: Phân số đảo ngược chính là phân số đảo tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.
Ví dụ 1: Thực hiện phép toán: 3/4 : 2/5
Lời giải:
Ta có: 3/4 : 2/5 = 3/4 . 5/2 = (3.5)/(4.2) = 15/8.
Ví dụ 2: Tìm x biết: x . 12/17 = 8/51
Lời giải:
x . 12/17 = 8/51
⇔ x = 8/51 : 12/17
⇔ x = 8/51 . 17/12
⇔ x = (8.17)/(51.12)
⇔ x = 2/9.
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức A dưới đây:
A = 5/9 . 7/8 : 1/4
Phương pháp: Với dạng bài tính giá trị biểu thức có nhiều phép tính ta thực hiện theo quy tắc trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau, nhân chia trước, cộng trừ sau, thực hiện lần lượt các phép tính từ trái sang phải.
Lời giải:
A = 5/9 . 7/8 : 1/4 = (5.7)/(9.8) : 1/4 = 35/72 : 1/4 = 35/72 . 4/1 = (35.4)/(72.1) = 35/18.
Phép chia phân số
Tham khảo thêm:
Toán 7 – Góc ở vị trí đặc biệt và tia phân giác của một góc
Toán 10 – Phân tích thống kê và xử lý số liệu
Tạm kết
Trên đây là hệ thống các kiến thức cơ bản nhất về phân số. Hy vọng những chia sẻ trên đây sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức và tự tin hoàn thành các bài tập liên quan. Chúc các em luôn học tốt và hãy nhớ theo dõi những bài viết mới của Cmath để bổ sung kiến thức cho mình nhé!
