• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Toán 7 – Đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch

29/08/2022 - 02:02 PM - 1156 Lượt xem

Đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch là những kiến thức cơ bản làm nền tảng giúp các em học tốt các lý thuyết về hàm số sau này. Hãy cùng tìm hiểu bài viết dưới đây của Cmath để củng cố các kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch cũng như cách giải một số dạng bài tập cơ bản nhé!

Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

Nói một cách dễ hiểu: Hai đại lượng được gọi là tỉ lệ thuận với nhau nếu đại lượng này tăng thì đại lượng kia cũng tăng và ngược lại.

Định nghĩa 

Nếu y và x liên hệ với nhau theo công thức: y = kx (với k là hằng số khác 0) thì ta nói đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k.

Chú ý: 

  • Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì ta cũng có thể nói x tỉ lệ thuận với hoặc nói hai đại lượng này tỉ lệ thuận với nhau.
  • Nếu y và x tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ k (k ≠ 0) thì ta cũng có thể nói x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 1/k.

Tính chất 

Nếu đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y, tức là với mỗi giá trị x1, x2, x3,… khác 0 của x ta tìm được một giá trị tương ứng y1 = k.x1, y2 = k.x2, y3 = k.x3,… của y thì:

  • Tỉ số hai giá trị tương ứng của x và y luôn không đổi: 

y1/x1 = y2/x2 = y3/x3 = … = k.

  • Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: 

x1/x2 = y1/y2; x1/x3 = y1/y3;…

Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

Đại lượng tỉ lệ nghịch là gì?

Nói một cách dễ hiểu: Hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nếu đại lượng này giảm thì đại lượng kia lại tăng và ngược lại.

Định nghĩa

Nếu y và x liên hệ với nhau theo công thức: y = a/x hay xy = a (a là một hằng số khác 0) thì ta nói hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a.

Chú ý:

Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x thì ta cũng có thể nói x tỉ lệ nghịch với y hay hai đại lượng này tỉ lệ nghịch với nhau.

Tính chất 

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau, tức là vớ mỗi giá trị x1, x2, x3,… khác 0 của x ta có 1 giá trị tương ứng y1 = a/x1, y2 = a/x2, y3 = a/x3,… của y thì:

  • Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng với hệ số tỉ lệ: 

x1y1 = x2y2 = x3y3 = … = a

  • Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

x1/x3 = y3/y1; x1/x2 = y2/y1;…

Đại lượng tỉ lệ nghịch là gì?

Đại lượng tỉ lệ nghịch là gì?

Bài tập vận dụng

Dạng 1. Nhận biết hai đại lượng là tỉ lệ nghịch hay tỉ lệ thuận

Phương pháp:

Dựa vào bảng giá trị để nhận biết hai đại lượng có tỉ lệ thuận với nhau không ta tính các tỉ số y/x nếu cho cùng một kết quả thì x, y tỉ lệ thuận và ngược lại.

Dựa vào bảng giá trị để nhận biết hai đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau không ta tính các tích x.y nếu cho cho kết quả bằng nhau thì x, y tỉ lệ nghịch và ngược lại.

Bài 1. Hai đại lượng x và y được cho bởi các bảng dưới đây có tỉ lệ thuận với nhau hay không?

a)

x

1

2

3

4

5

y

9

18

27

36

45

b)

x

1

2

5

6

9

y

12

24

60

72

90

Lời giải:

a) Dựa vào bảng số liệu ta có: x/y = 1/9 = 2/18 = 3/27 = 4/36 = 5/45

Do đó hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau.

b) Ta có: 6/72  ≠ 9/90

Suy ra hai đại lượng x và y trong trường hợp này không phải tỉ lệ thuận với nhau.

Bài 2. Hai đại lượng x và y được cho bởi bảng số liệu dưới đây có tỉ lệ nghịch với nhau hay không?

a)

x

1

2

4

5

8

y

120

60

30

24

15

b)

x

1

3

4

5

7

y

30

20

15

12,5

10

Lời giải:

a) Ta có:

x.y = 1.120 = 2.60 = 4.30 = 5.24 = 8.15 = 120

Dựa vào tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch thì hai đại lượng x và y trong trường hợp này tỉ lệ nghịch với nhau.

b) Ta có:

x.y = 1.30  ≠ 3.60

=> Hai đại lượng x và y trong trường hợp này không tỉ lệ nghịch với nhau.

Dạng 2. Biểu diễn đại lượng x theo đại lượng y, tìm x khi biết y và ngược lại, tính hệ số tỉ lệ

Phương pháp:

  • Hệ số tỉ lệ thuận của đại lượng y với x là k = y/x. Sau khi tính được hệ số k ta thay vào biểu thức y = k.x để tìm được mối quan hệ giữa y và x.
  • Hệ số tỉ lệ thuận của x và y là k = x/y. Sau khi tính được k ta thay vào biểu thức x = k.y để được mối quan hệ giữa x và y.
  • Hệ số tỉ lệ nghịch là k = x.y. Sau khi tính được k ta thay vào biểu thức y = k/x hoặc x = k/y để được mối quan hệ giữa x và y.
  • Biết được mối quan hệ giữa y và x, ta dựa vào đó để tính y khi biết x và ngược lại. Cuối cùng là tính toán để điền vào các ô dữ liệu theo yêu cầu bài toán.

Bài 3. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, x = 3 và y = 6.

a) Tìm hệ số tỉ lệ của y với x.

b) Biểu diễn y theo x.

c) Tính y khi x = 6 và tính x khi y = 24.

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ thuận: k = y/x = 6/3 = 2.

b) Vì k = 2 nên y = 2x.

c) Với y = 24 

Mà y = 2x => 2x = 24 => x = 12

Với x = 6 

Mà y = 2x => y = 2x = 2.6 = 12.

Dạng 3. Hoàn thành bảng số liệu

Phương pháp:

  • Tính hệ số tỉ lệ k và biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
  • Tính các giá trị tương ứng để hoàn thành bảng số liệu.

Bài 4. Biết x tỉ lệ thuận với y. Điền các giá trị y thích hợp vào bảng sau:

x

-3

-1

1

2

5

y

     

-4

 

Lời giải:

Vì x và y tỉ lệ thuận nên y = k.x

Theo bảng số liệu đã cho: Khi x = 2 thì y = -4 nên ta có hệ số tỉ lệ k = -4/2 = -2

Vậy y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = -2, hay y = -2.x.

Khi đó, ta có:

Với x = -3 thì y = (-2).(-3) = 6

Với x = -1 thì y = (-2).(-1) = 2

Với x = 1 thì y = (-2).1 = -2

Với x = 2 thì y = (-2).2 = -4

Với x = 5 thì y = (-2).5 = -10

Ta có bảng sau:

x

-3

-1

1

2

5

y

6

2

-2

-4

-10

Bài 5. Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau là x và y. Điền giá trị x, y thích hợp vào chỗ trống:

x

0.5

-1,2

   

4

6

y

   

3

-2

1,5

 

Lời giải:

Giả sử hệ số tỉ lệ của x và y là a thì y = a/x hay x.y = a

Theo bảng số liệu đã cho, khi x = 4 thì y = 1,5 => a = x.y = 4.1,5 = 6

Vậy ta có x.y = 6

Với x = 0,5 thì y = 6:0,5 = 12

Với x = -1,2 thì y = 6:(-1,2) = -5

Với x = 3 thì y = 6:3 = 2

Với x = -2 thì y = 6:(-2) = -3

Với x = 6 thì y = 6.6 = 1

Ta có bảng sau:

x

0.5

-1,2

2

-3

4

6

y

12

-5

3

-2

1,5

1

Dạng 4. Cho x tỉ lệ nghịch (tỉ lệ thuận) với y, y tỉ lệ nghịch (tỉ lệ thuận) với z. Xác định mối liên hệ giữa x và z và tính hệ số tỉ lệ.

Phương pháp:

Dựa vào bài toán biểu diễn x theo y, y theo z rồi thay y vào biểu thức trên để tìm mối liên hệ giữa x và z, sau đó rút ra kết luận.

Bài 6. Cho đại lượng x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k = 3, y lại tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ k = 2. Hỏi x tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với z và với tỉ số bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Theo bài ra ta có: x tỉ lệ thuận với y theo tỉ số k = 3 => x = 3y (1)

y tỉ lệ thuận với z theo tỉ số k = 2 => y = 2z (2)

Thế y ở (2) vào (1) ta được:

x = 3y = 3(2z) = 6z

Vậy đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ k = 6.

Bài 7. Cho x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số k = 3, y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số k = 6. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và với hệ số bằng bao nhiêu.

Lời giải:

x tỉ lệ nghịch với y theo k = 3 => x = 3/y (1)

y tỉ lệ nghịch với z theo k = 6 => y = 6/z (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x = 3/(6/z) = z/2.

Vậy x tỉ lệ thuận với z theo tỉ số k = ½.

Dạng 5. Bài toán đố về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch

Với những bài toán chỉ có hai đại lượng, ta có thể lập được ngay tỉ số:

  • Nếu 2 đại lượng đã cho tỉ lệ thuận với nhau thì x1/x2 = y1/y2 hay x1/y1 = x2/y2.
  • Nếu 2 đại lượng đã cho tỉ lệ nghịch với nhau thì x1/x2 = y2/y1 hay x1.y1 = x2.y2.

Đối với bài toán chia số phần, ta có thể đưa về dãy tỉ số bằng nhau để giải. Chú ý:

  • Nếu các ẩn số x, y, z và a, b, c tỉ lệ thuận với nhau thì: x/a = y/b = z/c.
  • Nếu các ẩn số x, y, x tỉ lệ nghịch với a, b, c thì: a.x = b.y = c.z.

Bài 8. Người ta thường cân các cuộn dây thép thay vì tiến hành đo chiều dài của chúng. Cho biết mối mét dây nặng 25g.

a) Giả sử x mét dây nặng y gam. Hãy biểu diễn y theo x.

b) Biết rằng cuộn dây nặng 4,5kg, hãy tính độ dài của cuộn dây đó?

Lời giải:

a)

Vì khối lượng cuộn dây thép tỉ lệ thuận với chiều dài cuộn dây nên y = k.x

Theo giả thiết: y = 25 (g) khi x = 1 (m)

=> 25 = k.1 => k = 25

Vậy y = 25x

b) Vì y = 25x nên thay giá trị y = 4,5kg = 4500g ta được:

x = 4500:25 = 180 (m)

Vậy cuộn dây dài 180m.

Bài tập vận dụng

Bài tập vận dụng

Tham khảo thêm:

Toán 9 – Tất tần tật về phương trình bậc hai một ẩn

Toán 8 – Khái niệm về hai tam giác đồng dạng

Toán 6 – Ôn lại kiến thức về phân số

Tạm kết

Hy vọng bài viết hệ thống các kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch trên đây sẽ giúp ích cho các em. Chúc các em luôn học tập thật tốt và đừng quên theo dõi các bài viết mới của Cmath để tiếp thu và ôn tập các kiến thức Toán học thú vị.