• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Phân thức đại số là gì?

06/07/2022 - 03:29 AM - 157 Lượt xem

Phân thức đại số là kiến thức được rất nhiều bạn học sinh quan tâm. Bởi tuy là kiến thức cơ bản nhưng nó được áp dụng để giải rất nhiều bài toán phức tạp sau này. Vậy phân thức đại số là gì? Nó có những tính chất nào? Hãy cùng Cmath tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé!

Phân thức đại số là gì?

Phân thức đại số hay còn được gọi một cách ngắn gọn là phân thức, được định nghĩa là một biểu thức có dạng A/B, trong đó B khác 0 và A, B là những đa thức và:

  • Đa thức A gọi là tử hay tử thức.
  • Đa thức B gọi là mẫu hay mẫu thức.

Vậy biểu thức đại số là gì? Biểu thức đại số được hiểu là những biểu thức chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa cả trên số và chữ (biểu diễn cho các số). Một phân thức đại số là một biểu thức đại số nhưng không phải biểu thức nào cũng là phân thức được. Một biểu thức được coi là phân thức khi và chỉ khi biểu thức đó có dạng A/B và thỏa mãn các điều kiện đã nêu trên.

Phân thức đại số là gì

Phân thức đại số là gì

Lưu ý: 

  • Mọi đa thức đều được coi là phân thức với mẫu thức là 1.
  • Các số 0 hay 1 cũng được coi là một phân thức đại số.

Ví dụ về phân thức: (3x + 1)/(x – 2), 1/x, 5/1

Hai phân thức bằng nhau

Xét hai phân thức A/B và C/D, với B khác 0, D khác 0. 

Ta có: A/B = C/D khi: A.D = B.C.

Ví dụ: (x – 1)/(x^2 – 1) = 1/(x + 1) khi (x – 1)(x + 1) = (x^2 – 1)

Tính chất cơ bản của phân thức

  • Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân thức với một đa thức (đa thức này khác 0) thì phân thức thu được đúng bằng phân thức đã cho: A/B = A.K/B.K (K là một đa thức và K khác 0).
  • Nếu ta chia đồng thời cả tử và mẫu của một phân thức cho một đa thức (đa thức này khác 0) thì phân thức thu được bằng phân thức ban đầu: A/B = A:H/B:H (H là một đa thức và H khác 0).
    Tính chất cơ bản của phân thức

    Tính chất cơ bản của phân thức

Quy tắc đổi dấu

Nếu đổi dấu đồng thời cả tử và mẫu của một phân thức thì ta thu được một phân thức mới đúng bằng phân thức ban đầu: A/B = (-A)/(-D)

Một số quy tắc khi tiến hành đổi dấu phân thức:

  • Đổi dấu của cả phân thức và tử thức của phân thức đó: A/B = -(-A)/B
  • Đổi dấu của cả phân thức đại số và mẫu thức của phân thức đó: A/B = –A/(-B)
  • Đổi dấu nguyên mẫu: A/(-B) = – A/B

Dạng bài rút gọn phân thức đại số

Phương pháp: Để làm dạng bài rút gọn phân thức một cách đơn giản, ta thực hiện theo các bước như sau:

  • Tìm nhân tử chung của tử và mẫu bằng cách phân tích tử và mẫu của phân thức đã cho.
  • Tiến hành chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung vừa tìm được ở bước 1 để rút gọn biểu thức ban đầu.
    Dạng bài rút gọn phân thức đại số

    Dạng bài rút gọn phân thức đại số

Ví dụ: Hãy rút gọn phân thức sau: P = (x^3 – 2x^2)/(x – 2)

Lời giải:

Ta có: x³ – 2x² = x².(x – 2)

Ta thấy tử thức và mẫu thức của phân thức P đều có nhân tử chung là x – 2. Tiến hành chia đồng thời cả tử và mẫu của phân thức P cho x – 2 ta được:

P = (x^3 – 2x^2)/(x – 2) = x^2(x – 2)/(x – 2) = x^2

Dạng bài quy đồng mẫu thức

Phương pháp:

Bước 1: Tìm mẫu thức chung của các phân thức đã cho:

  • Phân tích biến đổi phần biến thành nhân tử và phần hệ số thành thừa số nguyên tố.
  • Mẫu thức chung cần tìm sẽ gồm: phần hệ số của các hệ số mẫu, tích của các nhân tử chung (phần biến); riêng phần biến sẽ lấy số mũ của phần tử có số mũ cao nhất trong phân thức.

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức bằng cách lấy mẫu thức chung vừa tìm được chia lần lượt cho từng mẫu thức.

Bước 3: Nhân lần lượt cả tử và mẫu thức với nhân tử phụ vừa tìm được.

Dạng quy đồng mẫu thức

Dạng quy đồng mẫu thức

Ví dụ: Tìm x thỏa mãn: (x – 1)/2 = (x + 2)/4

Lời giải:

Ta có: (x – 1)/2 = (x + 2)/4 = [2(x – 1)]/4 = (x + 2)/4

Suy ra: 2(x – 1) = x + 2

Suy ra: 2x – x = 2 + 2

Vậy x = 4.

Dạng bài cộng trừ các phân thức

Phép cộng các phân thức

Tính chất:

  • Tính giao hoán: A/B + C/D = C/D + A/B
  • Tính kết hợp: (A/B + C/D) + E/F = A/B + (C/D + E/F)
  • Đổi dấu: -(A/B) = -A/B = A/(-B); -(-A)/B = A / B

Quy tắc: Muốn cộng các phân thức đại số có cùng mẫu thức, ta tiến hành cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên phần mẫu thức.

Ví dụ: x/2 + 5x/2 – 4x/2 = (x + 5x – 4x)/2 = 2x/2 = x

Dạng bài cộng trừ các phân thức

Dạng bài cộng trừ các phân thức

Với các phân thức khác mẫu thức, ta tiến hành tìm mẫu thức chung của các mẫu thức trong các phân thức cần tính tổng. Tiến hành quy đồng các phân thức đã cho về các phân thức có cùng mẫu thức. Sau đó ta chỉ cần thực hiện phép cộng các phân thức đại số cùng mẫu mà thôi.

Ví dụ: x/2 + x/4 = 2x/4 + x/4 = 3x/4x.

Phép trừ các phân thức

Quy tắc: Muốn thực hiện phép trừ các phân thức đại số có cùng mẫu thức, ta chỉ cần trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Ví dụ: 5x/2 – x/2 = (5x – x)/2 = 4x/2.

Khi thực hiện phép trừ các phân thức khác mẫu thức, ta tìm mẫu thức chung của các phân thức cần tính hiệu. Tiến hành quy đồng các phân thức đã cho bằng cách nhân cả tử và mẫu của từng phân thức với nhân tử chung tương ứng. Đến đây bài toán sẽ trở về bài toán tính hiệu giữa các phân thức đại số cùng mẫu.

Ví dụ: 5x/2 – x/4 = 10x/4 – x/4 = (10x – x)/4 = 9x/2.

Dạng bài nhân chia hai phân thức

Nhân hai phân thức

Tính chất:

  • Giao hoán: A/B . C/D = A.C/B.D
  • Kết hợp: (A/B . C/D) . E/F = A.C.E/B.D.F
  • Tính phân phối của phép nhân với phép cộng: A/B . (C/D + E/F) = A/B . C/D + A/B . E/F

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức bất kỳ với nhau, ta chỉ cần nhân tử thức với tử thức, mẫu thức với mẫu thức.

Ví dụ: 5x/2 . x/3 = (5x . x)/2 . 3 = 5x^2/6

Chia hai phân thức

Quy tắc: Muốn chia hai phân thức A/B : C/D ta chỉ cần lấy A/B nhân với nghịch đảo của C/D. Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau khi tích của hai phân thức đó có kết quả là 1. Tương tự, nghịch đảo của C/D là D/C.

Suy ra, A/B : C/D = A/B . D/C = A.D/B.C

Ví dụ: 5x/2 : x/3 = 5x/2 . 3/x = (5x.3)/2.x = 15/2

Dạng bài biến đổi các biểu thức hữu tỉ

Để biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức ta thực hiện các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia phân thức với nguyên tắc ưu tiên: trong dấu ngoặc làm trước, ngoài dấu ngoặc làm sau; nhân chia trước, cộng trừ sau để biến đổi chúng.

Dạng bài biến đổi các biểu thức hữu tỉ

Dạng bài biến đổi các biểu thức hữu tỉ

Ví dụ: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành một phân thức:

a) (1 + 1/x)/(1 – 1/x)

b) [1 – 2/(x + 1)]/[1 – (x^2 – 2)/(x – 1)

Lời giải:

a) (1 + 1/x)/(1 – 1/x)

= (x + 1)/x : (x – 1)/x = (x + 1)/x . x/(x – 1) = (x + 1)/(x – 1)

b) [1 – 2/(x + 1)]/[1 – (x^2 – 2)/(x – 1)

= (x + 1 – 2)/(x + 1) : [x^2 – 1 – (x^2 – 2)]/(x – 1) = (x – 1)/(x + 1) : 1/(x^2 – 1)

= (x – 1)/(x + 1) . [(x – 1)/(x + 1)]/1 = (x – 1)^2

Tham khảo thêm:

Phép cộng các phân thức đại số – Toán lớp 8

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Số thực là gì? Các dạng bài tập về số thực

Tạm kết

Bài viết trên là tổng hợp các kiến thức về phân thức đại số cũng như các tính chất của nó. Hy vọng qua bài viết các em có thể hiểu rõ phân thức đại số là gì? Cũng như vận dụng lý thuyết vào giải các bài tập liên quan. Chúc các em luôn học tốt và hãy thường xuyên theo dõi các bài viết mới cùng Cmath nhé!