Bội và ước của một số nguyên là một chủ đề khá thú vị mà các em được học trong chương trình Đại số lớp 6. Bài viết dưới đây của Cmath sẽ hệ thống một cách đầy đủ các kiến thức quan trọng liên quan đến chủ đề này. Hãy cùng tìm hiểu ngay nhé!
Khái quát về bội và ước của một số nguyên
Với các số a, b là các số nguyên và điều kiện b ≠ 0. Đồng thời, ta có một số nguyên q sao cho số đó thỏa mãn phép tính: a = b.q. Ta có thể nói số nguyên a chia hết cho số nguyên b. Hoặc ký hiệu dưới dạng: a ⋮ b.
Ngoài ra, còn có thể nói rằng số nguyên a là một bội của số nguyên b hay b là một ước của a.
Một số lưu ý về bội và ước của một số nguyên:
- Nếu ta có a = b.q, ta có thể nói rằng số nguyên a chia hết được cho b, được thương là q. Phép tính ban đầu tương đương với phép tính q = a : b.
- Số 0 là bội số của mọi số nguyên khác 0.
- Số 0 không là ước của bất kỳ một số nguyên nào.
- Các số -1 và 1 là ước số của mọi số nguyên.
- Nếu tồn tại một số c là ước của số a và cũng đồng thời là ước của số b thì ta có là ước chung của a và b.
![Khái quát về bội và ước của một số nguyên]()
Khái quát về bội và ước của một số nguyên
Một số tính chất quan trọng
Để có thể làm tốt các dạng bài tập liên quan đến lý thuyết này, các em cần nắm chắc các tính chất sau:
- Cho 3 số nguyên a, b, c. Lại có số nguyên a chia hết cho số nguyên b và số nguyên b chia hết cho số nguyên c. Ta có thể suy ra, số nguyên a chia hết cho số nguyên c.
a ⋮ b và b ⋮ c => a ⋮ c.
Ví dụ: (-16) ⋮ 8 và 8 ⋮ 4 nên (16) ⋮ 4.
- Nếu ta có số nguyên a chia hết cho số nguyên b. Suy ra mọi bội số của a đều sẽ chia hết cho số nguyên b.
a ⋮ b => a.m ⋮ b (với mọi m ∊ Z)
Ví dụ: (-3) ⋮ 3 nên 2.(-3) ⋮ 3, (-2).(-3) ⋮ 3,…
- Nếu tồn tại hai số nguyên a và b cùng chia hết cho số nguyên c. Thì tổng hoặc hiệu của hai số nguyên a và b cũng đều chia hết cho số nguyên c.
a ⋮ c và b ⋮ c => (a + b) ⋮ c và (a – b) ⋮ c
Ví dụ: 12 ⋮ 4 và (-8) ⋮ 4 nên [12+ (-8)] ⋮ 4 và [12 – (-8)] ⋮ 4.
Một số tính chất quan trọng
Bài tập thực hành
Bài 1. Cho tập hợp A = {7; 8; 9; 10} và B = {4; 5; 6}
a) Có thể lập được bao nhiêu dạng tổng a + b với a ∊ A, b ∊ B.
b) Có bao nhiêu tổng chia hết cho 2 trong số các tổng trên.
c) Viết tập hợp các phần tử có dạng a.b với a ∊ A, b ∊ B trong tập trên có bao nhiêu phần tử là bội của 5.
Lời giải:
a) Ta có:
C = {a + b | a ∊ A, b ∊ B |}
C = {11; 12; 13; 14; 15; 16}
b)
Có 3 tổng chia hết cho 2 là: 12; 14; 16.
c)
Ta có: T = {28; 35; 42; 32; 40; 48; 36; 45; 54; 50; 60}
Các phần tử trong tập hợp T là bội số của 5 là: 35; 40; 45; 50; 60.
Bài 2. Tìm a, b ∊ Z sao cho: (a – 3)b – a = 2.
Lời giải:
Ta có:
(a – 3)b – a = 2
=> (a – 3)b = a + 2
b = (a + 2)/(a – 3)
Để b ∊ Z => a + 2 ⋮ a – 3
=> (a + 2) = [(a – 3) + 5] : (a – 3)
=> 5 ⋮ (a – 3)
=> a – 3 = ± 5 hoặc a – 3 = ±1
Khi đó ta có:
- a – 3 = ± 5 => a = 8 hoặc a = -2
a = 8 => b = (8 + 2)/(8 – 3) = 10/5 = 2
a = –2 => b = (-2 + 2)/(-2 – 3) = 0/5 = 0
- a – 3 = ±1 => a = 4 hoặc a = 2
a = 4 => b = (4 + 2)/(4 – 3) = 6/1 = 6
a = 2 => b = (2 + 2)/(2 – 3) = 4/(-1) = -4.
Bài 3. Tìm các bội số của -13 biết bội đó lớn hơn -40 và nhỏ hơn 40.
Lời giải:
Tập hợp các bội của -13 là {0; -13; 13; -26; 26; -39; 39; -52; 52;…}
Mà theo bài ta có: Bội cần tìm lớn hơn -40 và nhỏ hơn 40.
=> Các bội cần tìm của -13 là: {-39; -26; -13; 0; 13; 26; 39}
Vậy các bội số thỏa mãn yêu cầu của đề bài là {-39; -26; -13; 0; 13; 26; 39}
Bài 4. Tìm tất cả các ước số của -15 và 54.
Lời giải:
Các ước của -15 là: {-15; -5; -3; -1; 1; 1; 3; 5; 15}
Vậy các ước cần tìm là: {-15; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 15}
Các ước số của 54 là tập hợp: {-54; -27; -18; -9; -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54}
Vậy các ước cần tìm của 54 là: {-54; -27; -18; -9; -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54}
Bài 5. Tìm x biết: 12 ⋮ x và x < -2
Lời giải:
Ta có: Tập hợp các ước của 12 là: {-12; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}
Vì x < -2 nên x ∊ {-3; -4; -6; -12}
Vậy ta tìm được giá trị x ∊ {-3; -4; -6; -12} thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài tập thực hành
Tham khảo thêm:
Toán 8 – Khái niệm về hai tam giác đồng dạng
Toán 6 – Ôn lại kiến thức về phân số
Toán 9 – Tất tần tật về phương trình bậc hai một ẩn
Tạm kết
Bài viết trên đã hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về chủ đề bội và ước của một số nguyên. Hy vọng các em nắm chắc kiến thức và vận dụng thành thạo vào giải các bài tập liên quan đến lý thuyết này. Chúc các em luôn học tốt và hãy thường xuyên theo dõi những chủ đề Toán học lý thú cùng Cmath nhé!
