Toán 9 – Tất tần tật về phương trình bậc hai một ẩn

28/07/2022 - 09:54 AM - 129 Lượt xem

Kiến thức về các dạng phương trình đặc biệt là phương trình bậc hai một ẩn là nội dung rất quan trọng, làm nền tảng cho các dạng toán nâng cao ở chương trình THPT. Hãy cùng Cmath tìm hiểu các kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn qua bài viết dưới đây nhé!

Định nghĩa về phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng gì? Cách giải của chúng như thế nào? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu nhé!

Định nghĩa

Phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 được gọi là phương trình bậc hai có một ẩn.

Trong đó, biến x được gọi là ẩn số, a, b, c là những số biết trước gọi là các hệ số và thường luôn khác 0 (vì khi a = 0 thì phương trình trên sẽ trở về dạng phương trình bậc nhất một ẩn).

Lưu ý:

Khi giải phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0:

Nếu b = 0, ta có ax2 + c = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết b.

Nếu c = 0, ta có ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết c.

Định nghĩa về phương trình bậc hai một ẩn

Định nghĩa về phương trình bậc hai một ẩn

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là phương trình bậc hai một ẩn, hãy chỉ ra đâu là ẩn, đâu là hệ số.

a) 3x2 + 24x – 160 = 0

b) -5x2 + 75 = 0

Lời giải:

a) Ta có phương trình: 3x2 + 24x – 160 = 0 là một phương trình bậc hai một ẩn.

Với ẩn x, các hệ số: a = 3; b = 24; c = -160.

b) Ta có phương trình: -5x2 + 75 = 0 là một phương trình bậc hai một ẩn.

Với ẩn x, các hệ số: a = -5; b = 0; c = 75.

Ví dụ 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 rồi chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình ấy.

a) 5x2 – 3x = 10x + 100

b) x2 = 900

Lời giải:

a) 5x2 – 3x = 10x + 100

Ta có: 5x2 – 3x = 10x + 100

⇔ 5x2 – 13x -100 = 0

Phương trình bậc hai ẩn x với các hệ số là: a = 5; b = -13; c = -100.

b) x2 = 100

Ta có: x2 = 100

⇔ x2 – 100 = 0

Phương trình bậc hai ẩn x với hệ số là: a = 1; b = 0; c = -100.

Các phương pháp giải bài toán phương trình bậc hai một ẩn

Về có bản các có 4 dạng bài toán giải phương trình bậc hai là: dạng phương trình bậc hai một ẩn không khuyết, dạng khuyết hệ số b, dạng khuyết hệ số c và giải bài toán bằng cách lập phương trình. Phương pháp giải các dạng bài cụ thể như sau:

Phương trình bậc hai một ẩn không khuyết

Phương trình bậc hai một ẩn dạng đầy đủ: ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0)

Với dạng phương trình đầy đủ này, ta có hai phương pháp giải như sau:

Phương pháp 1: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng: a(x + m)2 = n.

Phương pháp 2: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng phương trình tích: a(x + m)(x + n) = 0.

Ví dụ: Thêm bớt các đại lượng thích hợp để giải các phương trình dưới đây:

a) x2 + 6x = -8

b) x2 + x = 7

Lời giải:

a) x2 + 6x = -8

Ta có: x2 + 6x = -8

⇔ x2 + 6x + 9 = -8 + 9

⇔ (x + 3)2 = 1

⇔ x + 3 = 1 hoặc x + 3 = -1

⇔ x = -2 hoặc x = -4

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm là x = -2; x = -4.

b) x2 + x = 7

⇔ x2 + 2.½.x + ¼ = 7 + ¼

⇔ (x + ½)2 = 29/4

⇔ x + ½ = √29/2 hoặc x + ½ = -√29/2

⇔ x = (-1 + √29)/2 hoặc x = (-1 – √29)/2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (-1 + √29)/2 hoặc x = (-1 – √29)/2.

Phương trình bậc hai một ẩn có b = 0

Phương trình bậc hai một ẩn khuyết b có dạng: ax2 + c = 0 (a ≠ 0)

Biến đổi phương trình trên ta được: x2 = -c/a

Nếu -c/a ≥ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm: x = √-c/a hoặc x = -√-ca.

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau: 2x2 – 3 = 0

Lời giải:

Ta có: 2x2 – 3 = 0

⇔ x2 = 3/2

⇔ x = √3/2 hoặc x = -√3/2.

Vậy phương trình đã ch có hai nghiệm x = √3/2 và x = -√3/2.

Các phương pháp giải bài toán phương trình bậc hai một ẩn

Các phương pháp giải bài toán phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn có c = 0

Phương trình bậc hai một ẩn khuyết c có dạng: ax2 + bx = 0 (a ≠ 0)

Biến đổi phương trình đã cho ta được phương trình: x(ax + b) = 0

⇔ x = 0 hoặc ax + b = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -b/a.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là: x = 0 và x = -b/a.

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau: x2 – 3x = 0.

Lời giải:

Ta có: x2 – 3x = 0

⇔ x(x – 3) = 0

⇔ x = 0 hoặc x – 3 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm là: x1 = 0 và x2 = 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Phương trình: Để giải các bài toán bằng cách lập phương trình, ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình

Gọi ẩn và đặt điều kiện tùy theo đề bài.

Biểu diễn các đại lượng khác của bài toán theo ẩn vừa gọi.

Dựa vào bài toán đề bài, lập phương trình theo dạng đã học.

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình vừa lập.

Bước 3: So sánh kết quả vừa tìm được và chọn nghiệm thích hợp.

Ví dụ 1: Bạn Thu đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km trong thời gian đã dự định. Sau 1 giờ, Thu nghỉ 10 phút, do đó để Thu đến B đúng hẹn nên phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc ban đầu của Thu.

Lời giải:

Giả sử ban đầu Thu đi với vận tốc là x (km/h).

Điều kiện: x > 0.

Thời gian dự định đến địa điểm B là: 120/x (h)

Quãng đường Thu đi được sau 1 giờ là x (km)

=> Độ dài quãng đường còn lại mà Thu phải đi là: 120 – x (km)

Thời gian đi quãng đường còn lại là: (120 – x)/(x + 6) (h)

Ta có phương trình: 120/x = 1 + 10/60 + (120 – x)/(x + 6).

⇔ x2 + 42x – 4320 = 0

⇔ x = 48 hoặc x = -90

Vì điều kiện là x > 0 nên ta loại giá trị x = -90.

Vậy vận tốc ban đầu của Thu là 48 km/h.

Ví dụ 2: Tính diện tích của tam giác vuông biết cạnh huyền có độ dài là 15 cm và tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 21 cm.

Lời giải:

Gọi 1 cạnh góc vuông của tam giác có độ dài là: x (cm)

Điều kiện: x > 0

=> Cạnh góc vuông còn lại có độ dài là: 21 – x (cm)

Theo đề bài, ta có: 

152 = x2 + (21 – x)2

⇔ x2 – 21x + 108 = 0

⇔ x = 9 hoặc x = 12

Vì cả hai giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện x > 0 nên độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 9 cm và 12 cm.

Vậy diện tích tam giác vuông là: S = ½.9.12 = 54 (cm2).

Ví dụ 3: Tích hai số chẵn liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 322. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Gọi số nhỏ là x

Điều kiện: x > 0 và x thuộc N

=> Số còn lại là: x + 2

Theo đề bài ta có: x(x + 2) – [x + (x + 2)] = 322

⇔ x2 + 2x – 2x – 2 = 322

⇔ x2 = 324

⇔ x = 18 hoặc x = -18

Vì điều kiện là x > 0 và x thuộc N nên ta loại giá trị x = -18

Vậy 18 và 20 là hai số cần tìm.

Ví dụ 4: Một đội công nhân hoàn thành công việc gồm 420 sản phẩm. Số ngày làm việc sẽ giảm bớt đi 7 ngày nếu đội tăng thêm 5 người. Tìm số công nhân của đội.

Lời giải:

Gọi số công nhân là x (người)

Điều kiện: x > 0 và x thuộc N

Số ngày hoàn thành công việc với x người là: 420/x (ngày)

Số công nhân của đội sau khi tăng thêm là: x + 5 (người)

Số ngày hoàn thành sau khi tăng thêm người là: 420/(x + 5) (ngày)

Ta có phương trình sau: 420/x – 420/(x + 5) = 7

⇔ 420(x + 5) – 420x = 7x(x + 5)

⇔ 420x + 2100 – 420x = 7x2 + 35x

⇔ 7x2 + 35x – 2100 = 0

⇔ x = 15 hoặc x = -20

Vì điều điện là x > 0 và x thuộc N nên ta loại giá trị x = -20

Vậy đội công nhân đó có 15 người.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Tham khảo thêm:

Tạm kết

Bài viết đã cung cấp một cách chi tiết các kiến thức liên quan đến dạng bài phương trình bậc hai một ẩn. Hy vọng qua bài viết các bạn có thể nắm chắc các kiến thức lý thuyết và vận dụng giải các bài tập một cách dễ dàng. Chúc các bạn luôn học tốt và hãy thường xuyên theo dõi các bài viết mới của Cmath để củng cố kiến thức cho mình.