Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình nhanh và hiệu quả (Phần 1)

28/04/2022 - 04:02 PM - 92 Lượt xem

Các dạng bài thực tế liên quan đến phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình đã và đang trở thành một kiểu bài xu hướng trong các năm gần đây. Không chỉ cần phải hiểu rõ về lý thuyết, dạng bài này cũng yêu cầu các em học sinh phải có sự vận dụng nhuần nhuyễn lý thuyết cũng như tư duy linh hoạt. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng CMATH tìm hiểu ngay phương pháp giải nhanh và hiệu quả cho kiểu bài này. 

Phương pháp chung để giải toán bằng cách lập phương trình

Để giải toán bằng cách lập phương trình, phương pháp chung sẽ bao gồm các bước như sau: 

Bước 1: Lập hệ phương trình (hoặc phương trình)

  • Lựa chọn ẩn số và xác định điều kiện phù hợp cho ẩn
  • Dựa vào ẩn số để biểu diễn các dữ kiện chưa biết của đề bài
  • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) để thể hiện mối tương quan giữa các dữ kiện đã biết trong đề bài và ẩn số đã đặt. 

Bước 2: Giải hệ phương trình (hoặc phương trình) đã lập, nghiệm của phương trình chính là ẩn số cần tìm của bài. 

Bước 3: Đối chiếu nghiệm vừa tìm được với các điều kiện của ẩn số, nếu thỏa mãn thì đưa ra kết luận chung của bài. 

giải toán bằng cách lập phương trình

Các dạng toán chủ yếu giải bằng cách lập phương trình

Sau khi đã nắm được phương pháp chung của dạng bài này, dưới đây là một số kiểu toán thực tế liên quan đến phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình

Dạng toán chuyển động

Trong dạng toán chuyển động, các kiến thức cần nhớ bao gồm: 

Công thức tính quãng đường (S) = vận tốc (v) x thời gian (T)

Vận tốc là một đại lượng tỉ lệ thuận với quãng đường đi được và tỉ lệ nghịch với thời gian đã sử dụng. 

Đối với hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Tổng quãng đường của cả 2 xe bằng đúng quãng đường mỗi xe đã đi được. Thời gian hai xe đi được giống nhau. 

Đối với hai xe đi cùng chiều từ hai địa điểm riêng biệt: Giả sử hai địa điểm riêng biệt đó là C và D. Nếu xe đi từ C đi nhanh hơn xe đi từ D thì khi xe C đuổi kịp xe D, hiệu của quãng đường xe C đi được và quãng đường của xe D đi được sẽ bằng quãng đường CD. 

Đối với cano, tàu, thuyền và những chuyển động trên dòng nước. Cần chú ý một số vấn đề sau đây:

  • Khi cano xuôi dòng: Vận tốc của cano = Vận tốc riêng của cano + vận tốc dòng nước. 
  • Khi cano ngược dòng: Vận tốc của cano = Vận tốc riêng của cano – vận tốc dòng nước.
  • Ở đây, vận tốc dòng nước chính là vận tốc trôi tự nhiên của một vật đứng yên khi được đặt trên dòng nước. (vận tốc riêng của vật đó khi đặt trên mặt đất = 0). 

Bài toán ví dụ: Một người đi xe đạp điện từ địa điểm A đến địa điểm B có khoảng cách là 24 km. Khi đã đến B và đi ngược về A, người đó đi nhanh hơn so với ban đầu 4km/h, vì vậy thời gian đi nhanh hơn so với ban đầu 30 phút. Hỏi, vận tốc ban đầu khi đi từ A đến B là bao nhiêu? 

Lời giải chi tiết: 

Đổi đơn vị 30 phút = 12giờ

Giả sử vận tốc người đó đi từ A đến B là x (x>0, x(km/h)). Vậy thời gian người đó đi từ A đến B sẽ là 24x

Khi quay ngược về A, người đó đi nhanh hơn so với ban đầu 4km/h, vì thế vận tốc lúc này sẽ là x+4 (km/h). Thời gian cho chuyển động ngược chiều này là 24x+4(km/h).

Do đề bài cho biết thời gian lúc đi ngược từ B về A nhanh hơn 30 phút, nên ta sẽ lập được phương trình sau: 

24x24x+4=12

Giải phương trình này. Nghiệm x của phương trình chính là vận tốc cần tìm theo đề bài. 

24x24x+4=12 x2+4x-192=0x=12 hoặc x=-16.

Đối chiếu với điều kiện của ẩn là x>0, chúng ta loại nghiệm x=-16, chọn nghiệm x=12. Vậy vận tốc khi đi từ A đến B của người đó là 12km/h. 

Dạng toán công việc

Các bước cơ bản để giải bài toán công việc: 

Bước 1: Lập hệ phương trình (hoặc phương trình)

  • Lựa chọn ẩn số và xác định điều kiện phù hợp cho ẩn
  • Dựa vào ẩn số để biểu diễn các dữ kiện chưa biết của đề bài
  • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) để thể hiện mối tương quan giữa các dữ kiện đã biết trong đề bài và ẩn số đã đặt. 

Bước 2: Giải hệ phương trình (hoặc phương trình) đã lập, nghiệm của phương trình chính là ẩn số cần tìm của bài. 

Bước 3: Đối chiếu nghiệm vừa tìm được với các điều kiện của ẩn số, nếu thỏa mãn thì đưa ra kết luận chung của bài. 

Một số lưu ý khi giải bài toán liên quan đến công việc: 

  • Đối với bài toán hai người cùng làm chung hoặc làm riêng để hoàn thành một công việc cho trước, chúng ta sẽ coi khối lượng công việc cần hoàn thành là 1 và hai đại lượng chưa biết cần xác định là năng suất chung và năng suất riêng của từng người. 
  • Công thức tính năng suất riêng: Năng suất riêng của từng người = 1thời gian
  • Công thức tính năng suất chung: Năng suất chung = Tổng các năng suất riêng cộng lại.

Bài toán ví dụ: Một người dự định sẽ hoàn thành xong 120 sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi đã làm 2 tiếng với năng suất bình thường, người đó đã cải tiến kỹ thuật máy móc, do đó trong 1 giờ đã làm nhiều hơn được 3 sản phẩm. Thực hiện với năng suất đó và người này đã hoàn thành công việc sớm hơn thời gian dự định là 1 tiếng 36 phút. Hỏi với năng suất ban đầu thì trong một giờ người đó có thể làm ra bao nhiêu sản phẩm? 

Lời giải chi tiết

Đổi đơn vị 1 tiếng 36 phút = 1.6 giờ

Giải sử số sản phẩm người đó làm ra với năng suất ban đầu trong 1 giờ là x (điều kiện x>0). 

Thời gian dự kiến hoàn thành nếu làm theo năng suất ban đầu là 120x(giờ)

Số sản phẩm người đó sẽ hoàn thành trong 2 giờ với năng suất cũ là: 2x (sản phẩm)

Số sản phẩm người đó đã hoàn thành trong 1 giờ kể từ giờ thứ 3 là: x+3 (sản phẩm)

Với năng suất mới thì thời gian hoàn thành xong công việc là: 120-2xx+3+2(giờ)

Với dữ kiện người đó làm xong nhanh hơn so với dự kiến là 1,6 giờ nên ta có phương trình sau: 

120x-(120-2xx+3+2)=1,6

Giải phương trình đã lập, nghiệm của phương trình chính là ẩn số cần tìm. 

120x-(120-2xx+3+2)=1,6 x=12.

Đối chiếu với điều kiện x>0 thì x=12 là thỏa mãn. 

Vậy với năng suất cũ thì trong 1 giờ người đó hoàn thành được 12 sản phẩm. 

Một số điều cần lưu ý khi giải toán bằng cách lập phương trình

Để làm tốt được các dạng toán thực tế, các em phải lưu ý một số điều dưới đây để tránh xảy ra sai sót và nhầm lẫn khi làm bài: 

Nắm vững lý thuyết trọng tâm

Lý thuyết là một trong những yếu tố căn bản nhất các em cần quan tâm trước khi bước vào giai đoạn làm bài. Chỉ khi nắm vững và hiểu rõ được lý thuyết thì các em mới hiểu được bản chất của bài, đồng thời tránh được những lỗi sai cơ bản khi làm bài tập. Khi học lý thuyết liên quan đến các bài toán thực tế, hãy tập trung vào một số điểm như các công thức cần nắm được, cách đặt đại lượng chung, đại lượng riêng và các quy ước của bài (ví dụ quy ước khối lượng công việc chung là 1). 

Học kỹ phương pháp giải của từng dạng

Đứng sau lý thuyết thì phương pháp giải của từng dạng chính là yếu tố quan trọng thứ hai mà các em cần phải quan tâm. Ở mỗi bài toán, các em cần dựa vào các bước trọng tâm trong phương pháp giải, sau đó phát triển nên cách giải riêng cho từng bài.

Dù bài ở mức độ cơ bản hay bài ở mức độ nâng cao thì đều có sự tương đồng về phương pháp giải, chỉ khác sự suy luận mở rộng từ phương pháp đó mà thôi. Các bài toán thực tế hầu như đều có phương pháp giải chung, tuy nhiên từng dạng khác nhau lại có những điểm khác biệt, do đó hãy học và hiểu kỹ cách giải của từng dạng. 

Tránh nhầm lẫn giữa các dạng

Các dạng toán thực tế có rất nhiều dạng khác nhau. Toán chuyển động và toán công việc chỉ là hai dạng cơ bản nhất mà CMATH muốn gửi đến các em học sinh. Ngoài ra, còn rất nhiều những dạng toán khác như toán phần trăm, bài toán về thời gian chảy .v..v..sẽ được nêu ra trong phần 2 sắp tới. Vì có nhiều dạng như vậy, nên nếu các em bị nhầm lẫn giữa phương pháp giải dạng này với phương pháp giải dạng kia thì sẽ gây ra các sai sót cơ bản trong bài.

Ngoài ra, trong mỗi dạng lại có những kiểu bài toán khác nhau. Ví dụ, toán chuyển động có chuyển động đều, chuyển động vòng tròn. Toán công việc có công việc chung, công việc riêng. Tuy phương pháp giải chung giống nhau nhưng các em cần lưu ý một số công thức riêng của từng loại. 

Tư duy và suy luận logic

Toán thực tế không chỉ yêu cầu các em phải hiểu rõ bản chất của vấn đề, phương pháp giải của từng dạng mà còn phải biết cách tư duy và suy luận logic. Phương pháp giải của các dạng toán này có rất nhiều điểm giống nhau, tuy nhiên mỗi bài lại đòi hỏi một kiểu tư duy khác biệt.

Do đó, các em không thể học thuộc câu trả lời của dạng bài này, sau đó áp dụng sang dạng bài khác được. Để làm tốt được kiểu bài này, hãy làm thật nhiều các bài toán khác nhau để phát triển tư duy và mở rộng suy luận. Khi đã nhuần nhuyễn, các em sẽ không cảm thấy bỡ ngỡ khi bắt gặp bất cứ kiểu bài nào. 

Tham khảo:

Đạt điểm cao với lộ trình ôn thi thptqg môn toán cùng Ctmath

Tuyển tập những cuốn sách ôn thi đại học môn toán bạn không thể bỏ lỡ

Tổng hợp các dạng bài tập cần lưu ý khi ôn toán thi vào lớp 10

Kết luận

Trên đây là hai dạng bài giải toán bằng cách lập phương trình phổ biến nhất trong các kiểu bài toán thực tế hiện nay. Hy vọng bài viết trên sẽ là tư liệu bổ ích cho các em học sinh cũng như quý phụ huynh. Nếu muốn theo dõi tiếp phần 2 của các bài toán thực tế này, đừng quên theo dõi CMATH mỗi ngày nhé.

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn