Bất phương trình là một trong các dạng toán thường xuyên xuất hiện ở các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hiện nay và được nhận định là một dạng bài khó. Để làm tốt được dạng toán này, có rất nhiều yêu cầu được đặt ra. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng CMATH tìm hiểu ngay các dạng toán giải bất phương trình thường gặp nhất, cùng như các lưu ý cần nhớ khi làm kiểu bài này.
Khái niệm về bất phương trình
Bất phương trình được định nghĩa là một mệnh đề chứa ẩn, thường được viết dưới các dạng f(x)>g(x), f(x)<g(x), f(x)g(x) và f(x)g(x). Trong đó, các biểu thức f(x) và g(x) đều chứa chung một biến số giống nhau.
Một số điều cần lưu ý về bất phương trình bao gồm:
- Điều kiện xác định của bất phương trình cho trước chính là tổng điều kiện của hai biểu thức f(x) và g(x), nghĩa là điều kiện để hai biểu thức cho trước này có nghĩa và tồn tại.
- Nghiệm của bất phương trình cho trước f(x)<g(x) được định nghĩa là giá trị x0 mà khi thay giá trị này vào bất phương trình thì thỏa mãn f(x0)<g(x0) và x0 nằm trong tập xác định của bất phương trình.
- Bất phương trình tương đương được định nghĩa là hai bất phương trình có chung một tập nghiệm. Ký hiệu là f(x1)<g(x1) f(x2)<g(x2) nếu tập nghiệm x1 và x2 là giống nhau.
- Bất phương trình có thể có 1 ẩn, cũng có thể có nhiều ẩn. Có thể ở dạng bất phương trình đơn hoặc hệ bất phương trình. Đối với toán cấp 2, thông thường các em sẽ gặp dạng toán bất phương trình 1 ẩn và hệ bất phương trình 1 ẩn.
Phương pháp chung để giải bất phương trình cơ bản
Bất phương trình cơ bản nhất thường được viết ra dưới dạng ax+b<0. Trong đó, điều kiện của a phải khác 0 và a, b là các hệ số thuộc tập số thực R. Phương pháp giải của bài này sẽ theo các bước cụ thể như sau:
Trường hợp 1: Nếu a>0
ax+b<0 ax<-bx>-ba
Trường hợp 2: Nếu a<0
ax+b>0ax<-bx<-ba
Một số lưu ý khi giải các bất phương trình cơ bản:
- Nếu bất phương trình cho sẵn có dạng cơ bản như trên thì chỉ cần một bước là có thể giải ra ngay
- Tuy nhiên, nếu bất phương trình nằm ở dạng phân số, căn thức hay lũy thừa thì cần có những bước biến đổi biểu thức đã cho thành dạng cơ bản ax+b<0 để có thể thuận lợi tính toán. Cách làm trong các dạng bài này là sử dụng các phép tính hoặc mối quan hệ giữa hệ số và các ẩn.
Các dạng toán giải bất phương trình thường gặp cần nhớ
Sau khi đã nắm được phương pháp giải bất phương trình cơ bản thường gặp, dưới đây là một số dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh gần đây. Các em cần chú ý phân biệt rõ các dạng khác nhau để không bị sai sót trong quá trình làm bài:
Giải và biện luận dạng bất phương trình có chứa tham số
Bất phương trình một ẩn có chứa tham số là một trong những dạng bài nằm ở mức độ trung bình khá. Để làm được dạng bài này, các em phải biết áp dụng nhuần nhuyễn các kiến thức liên quan đến bất phương trình cũng như tư duy biện luận và logic. Phương pháp giải cụ thể như sau:
Bài toán tổng quát: Cho bất phương trình ax+b > 0
- Trường hợp 1: Nếu hệ số a=0 thì bất phương trình đã cho sẽ có dạng b>0. Nếu b ở đây có giá trị lớn hơn 0 thì bất phương trình sẽ có tập nghiệm là R, còn nếu b có giá trị bé hơn 0 thì bất phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 2: Nếu hệ số a>0 thì bất phương trình ax+b>0x>-ba. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x>-ba.
- Trường hợp 3: Nếu hệ số a< 0 thì bất phương trình ax+b>0x<-ba. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x<-ba.
Một số lưu ý khi giải dạng toán này là:
- Phương pháp giải và biện luận tất cả các dạng bất phương trình còn lại cũng tương tự như ở trên.
- Bất phương trình đã cho có thể nằm ở dạng căn thức, phân số hoặc chưa rút gọn. Trong trường hợp này thì các em cần phải đưa bất phương trình về dạng quen thuộc, bao gồm ax+b>0, ax+b<0, ax+b0 và ax+b0. Sau đó, mới tiến hành giải và biện luận như thông thường.
Bài toán ví dụ: Giải và biện luận bất phương trình sau: (m+1)x+m+34x+1
Lời giải chi tiết:
Theo bài ra:
(m+1)x+m+34x+1
(m+1)x+m+3-4x-10
(m-3)x+m+20
Trường hợp 1: Nếu m-3 = 0, có nghĩa m = 3 thì bất phương trình sẽ có dạng 50. Điều này luôn đúng. Vậy bất phương trình trong trường hợp này có tập nghiệm là R.
Trường hợp 2: Nếu m-3>0, có nghĩa m>3 thì bất phương trình:
(m-3)x+m+20
x-m-2m-3
Trường hợp 3: Nếu m-3<0, có nghĩa m<3 thì bất phương trình:
(m-3)x+m+20
x-m-2m-3
Kết luận bài toán:
- Nếu m=3 thì bất phương trình có vô số nghiệm
- Nếu m>3 thì bất phương trình có nghiệm x-m-2m-3
- Nếu m<3 thì bất phương trình có nghiệm x-m-2m-3
Giải bất phương trình có ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối
Bất phương trình có ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là một dạng toán biện luận khó hơn so với dạng biện luận thường phía trên. Không chỉ yêu cầu sự hiểu biết về bất phương trình, tư duy biện luận mà các em còn phải biết cách phá dấu giá trị tuyệt đối sao cho đúng và phù hợp để không bỏ sót nghiệm.
Phương pháp giải chung dành cho dạng toán này như sau:
Bước 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào 3 cách sau đây:
- Sử dụng định nghĩa của dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm A=A khi A0 và A=-A khi A<0.
- Bình phương cả hai vế của bất phương trình. Khi bình phương thì dấu giá trị tuyệt đối sẽ được loại bỏ.
- Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng ẩn phụ. Tuy nhiên, phương pháp này cần chú ý thêm việc đặt điều kiện cho ẩn phụ sao cho phù hợp.
Tùy vào từng bài toán và thói quen của bản thân mà các em sẽ lựa chọn cho mình một cách làm phù hợp.
Bước 2: Sau khi đã phá dấu giá trị tuyệt đối, nếu bất phương trình đã nằm ở dạng cơ bản thì tiến hành giải tương tự như các bất phương trình phía trên. Nếu bất phương trình chưa nằm ở dạng cơ bản thì phải biến đổi và rút gọn về dạng cơ bản rồi mới tiến hành giải.
Bước 3: Kết luận về tập nghiệm. Lưu ý kết hợp cùng những điều kiện khi phá dấu giá trị tuyệt đối để xác định nghiệm cho đúng và đủ.
Lưu ý: Vì giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn dương, nên khi xét những bất phương trình dạng f(x)<g(x) phải xét thêm điều kiện g(x)>0. Đây là điều kiện để tồn tại bất phương trình.
Bài toán ví dụ: Giải bất phương trình 3x+1>2
Theo bài ra, ta có:
3x+1>2
3x+1>2 hoặc 3x+1<-2
3x>1 hoặc 3x<-3
x>13 hoặc x<-1
Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x>13 hoặc x<-1.
Giải bất phương trình có chứa biến ở mẫu
Dạng toán bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu là một dạng toán được đánh giá dành cho học sinh khá giỏi. Để làm được dạng bài này, các em cần phải nắm vững kiến thức về bất phương trình, cách quy đồng chuyển vế cũng như cách đặt điều kiện sao cho đúng và đủ, vì bất phương trình ở đây có xuất hiện thêm biến ở mẫu.
Phương pháp giải tổng quát cho bài toán này sẽ đi theo các bước sau đây:
Bước 1: Xác định điều kiện cho bất phương trình. Lưu ý tìm đúng và đủ tất cả các điều kiện.
Bước 2: Chuyển toàn bộ bất phương trình về cùng một vế
Bước 3: Quy đồng hai bất phương trình tuy nhiên không khử mẫu, chúng ta sẽ đưa được bài toán về dạng f(x)g(x)>0 hoặc f(x)g(x)<0, f(x)g(x)0, f(x)g(x)0
Bước 4: Tiến hành giải bất phương trình f(x)g(x)>0, tìm nghiệm sau đó đối chiếu với điều kiện xác định đã đặt ra ở trên để tìm ra tập nghiệm đúng.
Bài toán ví dụ: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x-1x-32
Theo bài ra, ta có: Điều kiện của bất phương trình là x 3
x-1x-32x-1x-3-20
x-1-2x+6x-30
-x+5x-30
-x+50 và x-3>0 hoặc -x+50 và x-3<0
x5 và x>3 hoặc x5 và x<3
Đối chiếu với điều kiện bên trên, ta có kết luận: 3<x5
Một số lưu ý khi giải các dạng toán bất phương trình
Bất phương trình được nhận định là một dạng toán khó. Không chỉ có 3 dạng phía trên mà còn có rất nhiều bài toán được sử dụng làm câu cuối cùng trong đề thi (câu lấy điểm 10). Vì vậy, để học tốt dạng toán này, các em cần chú ý một số điều sau đây:
Nắm chắc phương pháp giải của từng dạng
Với những bài toán đã được phân thành dạng cụ thể thì các em cần nhớ và hiểu rõ phương pháp giải của từng dạng. Điều này có thể giúp các em tránh nhầm lẫn và sai sót khi làm bài, đồng thời rút ngắn thời gian làm lại.
Làm nhiều bài tập của từng dạng
Việc thực hành là vô cùng quan trọng, đặc biệt là với các dạng toán khó. Làm nhiều bài tập không chỉ giúp các em nhớ kỹ lý thuyết, hiểu rõ được bản chất của vấn đề mà còn mở rộng tư duy khi giải toán. Vì thế, hãy làm bài tập theo từng dạng và làm thật nhiều để nhuần nhuyễn và thuần thục cách giải.
Làm quen với các bài toán khó
Bất phương trình là một dạng toán vô cùng đa dạng, có rất nhiều bài hay và khó. Vì thế, bên cạnh giải các dạng cơ bản thường gặp, các em cũng cần phải làm quen với các dạng toán khó. Điều này sẽ vô cùng quan trọng với những bạn muốn thi vào trường chuyên hoặc muốn lấy điểm 10.
Tham khảo:
Hướng dẫn cách tìm tập giá trị của hàm số lượng giác
Lý thuyết và bài tập chi tiết về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Tổng hợp kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn
Kết luận
Trên đây là một số dạng toán giải bất phương trình thường gặp mà CMATH muốn gửi đến các em học sinh và quý phụ huynh, Hy vọng bài viết này đã mang đến cho các em những thông tin có ích, từ đó giúp các em chuẩn bị kỹ hơn hành trang của mình trong đợt thi sắp tới.
THÔNG TIN LIÊN HỆ
- CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
- Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
- Hotline: 0973872184 – 0834570092
- Email: clbcmath@gmail.com
- FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
- Website: cmath.vn
