Công thức hàm số lượng giác đầy đủ và dễ nhớ nhất

Ở lớp 9, chúng ta đã biết các tỉ số lượng giác: sin, cos, tan, cot của một góc nhọn a và kí hiệu là sina, cosa, tana và cota. Các tỉ số lượng giác đã được học không chỉ áp dụng cho các góc nhọn mà nó còn được mở rộng đế áp dụng cho các góc tù nữa đó. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn và tỉ số lượng giác của một góc tù có gì khác và giống nhau? Cùng tìm hiểu bài viết sau đây của CMath về công thức hàm số lượng giác nhé.

Công thức lượng giác cơ bản

Sau đây sẽ là một số công thức hàm lượng giác cơ bản mà các bạn học sinh nhất định phải học thuộc để làm các bài tập Toán học và nắm vững kiến thức cho các bài tập nâng cao.

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và các cung đặc biệt

Các hệ thức cơ bản

sin2a+cos2a=1

tana.cota=1 (ak2,kZ)

1+tan2a=1cos2a (a2+k,kZ)

1+cot2a=1sin2a (ak,kZ)

tana=sinacosa

cota=cosasina

Cung liên kết

Hai góc đối nhau

cos(-x)=cosx

sin(-x)=-sinx

tan(-x)=-tanx

cot(-x)=-cotx

Hai góc bù nhau

sin(-x)=sinx

cos(-x)=-cosx

tan(-x)=-tanx

cot(-x)=-cotx

Hai góc hơn kém

sin(+x)=-sinx

cos(+x)=-cosx

tan(+x)=tanx

cot(+x)=cotx

Hai góc phụ nhau

sin(2-x)=cosx

cos(2-x)=sinx

tan(2-x)=cotx

cot(2-x)=tanx

Hai góc hơn kém 2

sin(2+x)=cosx

cos(2+x)=-sinx

tan(2+x)=-cotx

cot(2+x)=-tanx

Công thức cộng

sin(ab)=sinacosbcosasinb

cos(ab)=cosacosbsinasinb

tan(ab)=tanatanb1tanatanb

Cách nhớ: sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ, tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số một trừ tích tan

Công thức nhân đôi

sin2x=2sinxcosx

cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x

tan2x=2tanx1-tan2x

cot2x=cot2x-12cotx

Công thức nhân ba

sin3x=3sinx-4sin3x

cos3x=4cos3x-3cosx

Công thức hạ bậc

sin2a=12(1-cos2a)

cos2a=12(1+cos2a)

tan2a=1-cos2a1+cos2a

sin3a=3sina-sin3a4

cos3a=3cosa-cos3a4

Công thức tính tổng, hiệu của các hàm sin và cos

sinacosa=2sin(a4)=2cos(a4)

Công thức chia đôi

Đặt t=tanx2 (với t+k2,kZ)

sinx=2t1+t2

cosx=1-t21+t2

tanx=2t1-t2

Công thức biến đổi từ hàm tổng thành tích

cosa+cosb=2cosa+b2cosa-b2

cosa-cosb=-2sina+b2sina-b2

sina+sinb=2sina+b2cosa-b2

sina-sinb=2cosa+b2sina-b2

tanatanb=sin(ab)cosacosb

cotacotb=sin(ba)sinasinb

Công thức biến đổi từ hàm tích thành tổng

cosacosb=12[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinasinb=-12[cos(a+b)-cos(a-b)]=12[cos(a-b)-cos(a+b)]

sinacosb=12[sin(a+b)+sin(a-b)]

Công thức lượng giác nâng cao

Ở phần này, ngoài các công thức hàm số lượng giác lớp 10 cơ bản, CMath Education sẽ giới thiệu đến các bạn học sinh các công thức hàm số lượng giác lớp 10 nâng cao. Đây sẽ là những công thức lượng giác hoàn toàn không có trong sách giáo khoa nhưng thường  gặp trong các bài toán rút gọn biểu thức, kiểm tra biểu thức, giải phương trình lượng giác,… Các bạn học sinh có mức năng lực từ khá, giỏi có thể tham khảo để vận dụng vào các bài tập nâng cao và chuyên sâu hơn.

Các công thức lượng giác kết hợp với hằng đẳng thức đáng nhớ

sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)

sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2.cos2=1-12sin22

sin6+cos6=(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)

sin4-cos4=-cos2x

Công thức hạ bậc

sin3=3sin-sin34

cos3=3cos+cos34

tan2=1-cos21+cos2

tan3=3sin-sin33cos+cos3

Công thức tổng và hiệu

sin+cos=2sin(+4)

sin+cos=2cos(–4)

sin-cos=2sin(–4)

sin-cos=2cos(+4)

cos-sin=2sin(4–)

cos-sin=2cos(+4)

tan+tan=sin(+)coscos

tan-tan=-sin(–)coscos

tan+tan=sin(+)coscos

cot+cot=sin(+)sinsin

cot-cot=-sin(–)sinsin

tan+cot=sin(–)cossin

tan+cot=22sin2

cot-tan=cos(+)sincos

cot-tan=2cot2

Công thức hàm số lượng giác được sử dụng trong tính tam giác

sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2

cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC

cosacos(3-a)cos(3+a)=14cos3a

sinasin(3-a)sin(3+a)=14sin3a

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

tanB2tanA2+tanC2tanB2+tanC2tanA2=1

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

cotA2+cotB2+cotC2=cotC2cotB2tanA2

sinA+sinB+sinC332

sinA2+sinB2+sinC232

cosA+cosB+cosC32

cosA2+cosB2+cosC2332

Công thức nghiệm của các phương trình hàm số lượng giác cơ bản

Kiến thức cơ bản

sinu=sinvu=v+k2u=-v+k2

cosu=cosvu=v+k2u=-v+k2

tanu=tanvu=v+k

cotu=cotvu=v+k

Trường hợp đặc biệt

sinu=0u=k

sinu=1u=2+k2

sinu=-1u=-2+k2

cosu=0u=2+k

cosu=1u=k2

cosu=-1u=+k2

Bài tập vận dụng về công thức hàm số lượng giác

Bài tập 1: Tìm giá trị x(0;) thỏa mãn điều kiện sau: cos2x+sinx-1=0

1. x=2.
2. x=4.
3. x=-2.
4. x=22.

Hướng dẫn giải

Chọn A

cos2x+sinx-1=0-sin2x+sinx=0

sinx=0 hoặc sinx=1

x=k hoặc x=2+k (kZ)

x(0;) nên x=2 (k=0).

Bài tập 2: Tập nghiệm của phương trình 3sin2x-23sinxcosx-3cos2x=0:

1. {-6+k,3+k,kZ}
2. {-6+k2,3+k2,kZ}
3. {-6+k,kZ}
4. {56}

Hướng dẫn giải

Chọn A

3sin2x-23sinxcosx-3cos2x=0  (1)

Xét cosx=0  (1) sinx=0 (vô lý do: sin2x+cos2x=1)

Xét cosx0. Chia hai vế của (1) cho cos2x. Ta được: 3tan2x-23tanx-3=0

tanx=3 hoặc tanx=-13

x=3+k hoặc x=-6+k (kZ)

Bài tập 3: Tổng các nghiệm của phương trình cos2x-3sin2x=1 trong khoảng 0;:

1. 0
2. 2
3. 23

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có cos2x-3sin2x=1

cos(2x+3)=12

x=k hoặc x=-3+k (kZ)

Trong khoảng 0;: x=23 (k=1)

Bài tập 4: Giải phương trình sin(2x3–3)=0:

1. x=k,(kZ)
2. x=23–k32,(kZ)
3. x=3+k,(kZ)
4. x=2–k32,(kZ)

Hướng dẫn giải

Chọn D

sin(2x3–3)=02x3–3=kx=2+k32 (kZ)

Bài tập 5: Phương trình cos(cos2x)=1 có nghiệm:

1. x=4+k,kZ
2. x=4+k2,kZ
3. x=2+k,kZ
4. x=0

Hướng dẫn giải

Chọn B

cos(cos2x)=1

cos2x=k2

cos2x=2k, để phương trình có nghiệm thì 2k1k12

Mà k nguyên k=0

cos2x=0x=4+k2 (kZ)

Bài tập 6: Tập nghiệm của phương trình tanx+cotx-2=0

1. {-4+k,kZ}
2. {4+k,kZ}
3. {4+k2,kZ}

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện: xk2 (kZ)

tanx+cotx-2=0

tanx+1tanx-2=0

tan2x-2tanx+1=0

tanx=1

x=4+k (kZ)

Bài tập 7: Phương trình 3sin2x+msin2x-4cos2x=0 có nghiệm khi:

1. m=4
2. m4
3. m4
4. mR

Hướng dẫn giải

Chọn D

3sin2x+msin2x-4cos2x=0

Xét cosx=0, suy ra phương trình vô nghiệm

Xét cosx0, chia cả 2 vế của phương trình cho cos2x:

3tan2x+2mtanx-4=0

‘=m2+12>0m

PT có nghiệm với mọi tham số m.

Ôn luyện online về công thức hàm số lượng giác cùng CMath

Học trực tuyến là một trong những phương pháp học giúp học sinh rèn luyện tính độc lập, chủ động theo thời gian. Tuy nhiên nếu không có lộ trình rõ ràng thì các bạn học sinh rất dễ bị chán nản và kết quả học tập ngày càng không được cải thiện. Vì vậy nếu các bậc phụ huynh đang tìm kiếm một môi trường học tập, luyện thi chất lượng thì đừng bỏ qua CMath Education. CMath sẽ là cầu nối kết nối quý phụ huynh và con em, giúp phụ huynh hiểu và biết được năng lực của con trẻ.

Tại CMath sẽ có lịch học cũng như lịch trình ôn tập về công thức hàm số lượng giác rõ ràng, chi tiết. Sau thời gian học, các bạn học sinh sẽ được kiểm tra định kỳ, kết quả từ bài kiểm tra sẽ được thông báo ở mỗi bài học và kỳ thi để phụ huynh nắm được năng lực và kỹ năng của học sinh. Chất lượng giảng dạy cũng như đội ngũ giáo viên, trợ giảng, chủ nhiệm lớp. Đội ngũ giáo viên tại đây đều là những giáo viên có nhiều năm kinh nghiệm trong lĩnh vực giáo dục. Các chương trình đào tạo được thiết kế đặc biệt, chuyên sâu, độc quyền, được chọn lọc và biên soạn từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp với khả năng học tập của từng học viên.

Bài viết trên đây là tất tần tật mọi thông tin về công thức hàm số lượng giác của chương trình lớp 10 từ cơ bản đến nâng cao cho các bạn học sinh tham khảo. Chuyên đề kiến thức này vô cùng quan trọng và xuất hiện nhiều trong các bài kiểm tra. Vì vậy các bạn cố gắng củng cố và ôn luyện nhé. CMath chúc các bạn đạt điểm cao và học thật tốt.

>>> Có thể bạn quan tâm:

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số đơn giản, dễ hiểu

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

• CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu

• Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
• Hotline: 0973872184 – 0834570092
• Email: clbcmath@gmail.com
• FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
• Website: cmath.vn