Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số đơn giản, dễ hiểu

Trong chương trình Toán học thì lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số là một chuyên đề vô cùng quen thuộc và gần gũi với các bạn học sinh. Đây được xem là một trong những chương học nền tảng và là kiến thức quan trọng cho các bạn học sinh cho những bài tập chuyên sâu khác. Cùng tìm hiểu bài viết sau đây nhé, CMath đã tổng hợp đầy đủ từ lý thuyết đến phân dạng bài tập một cách chi tiết và dễ hiểu cho các bạn rồi đó.

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số là một trong những chuyên đề cơ bản và trọng tâm để hỗ trợ các bài toán nâng cao. Tìm hiểu về tính đơn điệu của hàm số sau đây cùng CMath nhé.

Đồng biến, nghịch biến là gì?

Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng K.

1. a) Hàm số y=f(x) đồng biến trên K nếu x1,x2K, x1<x2f(x1)<f(x2).
2. b) Hàm số y=f(x) nghịch biến trên K nếu x1,x2K, x1<x2f(x1)>f(x2).

Định lý

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

1. a) f'(x)>0 x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
2. b) f'(x)<0 x K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
3. c) f'(x)=0 x K thì hàm số f(x) không đổi trên K.

Lưu ý:

• Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm f'(x)>0 trên (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [a;b].
• Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm f'(x)<0 trên (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b].

Định lý mở rộng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

1. a) f'(x)0 x K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) đồng biến trên K.
2. b) f'(x)0 x K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) nghịch biến trên K.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm f'(x). Tìm xi(i=1,2,3,….,n) mà tại đó đạo hàm f'(x)=0 hoặc không xác định.
• Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Kết luận.

Các dạng của bài tập về tính đơn điệu của hàm số

• Dạng 1: Tìm khoảng nghịch biến – đồng biến của hàm số

Phương pháp giải:

Cho hàm số y=f(x)

• f'(x)>0 ở đâu thì hàm số y=f(x) đồng biến ở đó.
• f'(x)<0 ở đâu thì hàm số y=f(x) nghịch biến ở đó.

Quy tắc:

• Tính f'(x), giải phương trình f'(x)=0 và tìm nghiệm.
• Lập bảng xét dấu cho f'(x).
• Nhìn vào bảng xét dấu và đưa ra kết luận.

• Dạng 2: Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng đồ thị cho trước

Phương pháp giải:

Nếu đề bài cho đồ thị y=f(x), ta có thể nhìn vào các khoảng đi lên hoặc đi xuống.

• Khoảng mà tại đó đồ thị đi lên tức là hàm đồng biến.
• Khoảng mà tại đó đồ thị đi xuống tức là hàm nghịch biến.

Nếu đề bài cho đồ thị y=f'(x), ta lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) như sau:

• Tìm nghiệm của f'(x)=0.
• Xét xấu f'(x) (phần trên của 0x mang dấu dương, phần dưới 0x mang dấu âm).
• Lập bảng biến thiên của y=f(x) rồi suy ra kết luận.

• Dạng 3: Tìm m để hàm số y=ax+bcx+dđơn điệu trên từng khoảng xác định

Phương pháp giải:

Tính y’=ax+b(cx+d)2

• Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó y’>0ad-cb>0.
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó y'<0ad-cb<0.

• Dạng 4: Tìm m để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đơn điệu trên ℝ

• Hàm số đồng biến trên ℝ thì y’0, xℝ a>0 và y’0 hoặc suy biến a=0, b=0 và c>0.
• Hàm số nghịch biến trên ℝ thì y’0, xℝ a<0 và y’0 hoặc suy biến a=0, b=0 và c<0.

• Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên một khoảng cho trước
• Dạng 6: Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f'(x)

Loại 1: Cho đồ thị y=f'(x), tính đơn điệu của hàm y=f(x).

• Tìm nghiệm của f'(x)=0.
• Xét xấu f'(x) (phần trên của 0x mang dấu dương, phần dưới 0x mang dấu âm).
• Lập bảng biến thiên của y=f(x) rồi suy ra kết luận.

Loại 2: Cho đồ thị hàm số y=f'(x), tính đơn điệu của hàm số y=f(u).

• Tính y’=u’.f'(u).
• Giải phương trình f'(u)=0u’=0 hoặc f'(u)=0 (nhìn đồ thị suy ra nghiệm).
• Lập bảng biến thiên của y=f(u), suy ra kết quả tương đương.

Loại 3: Cho đồ thị y=f'(x), tính đơn điệu của hàm hợp y=g(x), trong đó g(x) có liên hệ với f(x).

• Tính y’=g'(x).
• Giải phương trình g'(x)=0 (nhìn đồ thị suy ra nghiệm).
• Lập bảng biến thiên của y=g(x), suy ra kết quả tương đương.

• Dạng 7: Biện luận tính đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng con của tập xác định ℝ

Loại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đơn điệu trên ℝ.

• Đồng biến trên ℝ a>0 và y’0 hoặc suy biến a=0, b=0 và c>0.
• Nghịch biến trên ℝ thì y’0, xℝ a<0 và y’0 hoặc suy biến a=0, b=0 và c<0.

Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đơn điệu trên khoảng con của ℝ.

• Nếu phương trình y’= 0 giải ra nghiệm đẹp. Ta lập bảng xét dấu y’ theo các nghiệm vừa tìm được.
• Nếu phương trình y’= 0 giải ra nghiệm xấu. Ta dùng 1 trong 2 cách sau:

• Dùng định lý so sánh nghiệm.
• Cô lập m, dùng đồ thị.

Loại 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y=ax4+bx2+c đơn điệu trên khoảng con của ℝ.

• Giải phương trình y’= 0, tìm nghiệm của phương trình.
• Tiến hành biện luận những trường hợp nghiệm có thể xảy ra.

Ôn luyện về tính đơn điệu của hàm số online cùng CMath

Câu lạc bộ toán học muôn màu – CMath là nơi rèn luyện, đánh thức trong các bạn trẻ tiềm năng và niềm đam mê toán học. CMath sẽ hỗ trợ các bậc phụ huynh đồng hành cùng con em mình trên con đường phát triển tư duy và rèn luyện các kỹ năng cần thiết trong các môn học ở trường.

Khi đến với CMath, phụ huynh và học sinh có thể hoàn toàn yên tâm về chất lượng giảng dạy cũng như đội ngũ giáo viên, trợ giảng, chủ nhiệm lớp. Tại đây, CMath luôn dành cho học viên sự quan tâm, chăm sóc đặc biệt, đảm bảo quá trình học tập được diễn ra thoải mái, tạo cảm giác hứng thú và yêu thích môn học.

Kinh nghiệm giảng dạy dày dặn của đội ngũ giáo viên lâu năm trong lĩnh vực giáo dục cũng như chương trình đào tạo được chọn lọc và biên soạn từ cơ bản đến nâng cao. Phù hợp với mọi mức độ nhận biết của con trẻ.

Khi cho con em theo học tại CMath, phụ huynh có thể yên tâm khi biết con mình được giáo dục trong môi trường tốt nhất. Tỷ lệ học sinh học tại CMath đậu các trường chuyên phổ thông ở Hà Nội lên đến trên 92%. Ngoài ra quý phụ huynh được đảm bảo hoàn tiền khi con ngừng học vì bất kỳ lý do gì.

Kết luận

Tính đơn điệu của hàm số là dạng bài tập xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra và bài thi trung học phổ thông quốc gia. Học tốt chuyên đề này sẽ giúp cho các bạn học sinh củng cố nền tảng kiến thức vững chắc để tự tin giải được các bài toán nâng cao hơn. Đến với CMath nếu bạn mong muốn được học thêm các kiến thức hữu ích và cần thiết khác nhé.

Trên đây là bài viết chi tiết tổng hợp tất cả các kiến thức trọng tâm về tính đơn điệu của hàm số. Nếu muốn học thêm những bài học bổ ích khác và có lộ trình ôn thi cụ thể và đạt điểm cao thì các bạn học sinh có thể liên hệ với CMath để được tư vấn và hỗ trợ tận tình.

>>> Tham khảo thêm:

Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

• CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu

• Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
• Hotline: 0973872184 – 0834570092
• Email: clbcmath@gmail.com
• FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
• Website: cmath.vn