• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay

29/04/2022 - 03:29 PM - 1545 Lượt xem

Dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia. Dạng toán này khá đơn giản và thường là phần học sinh dễ lấy điểm, vì vậy các bạn học sinh cần nắm vững kiến ​​thức và củng cố lại dạng toán này. Viết phương trình tiếp tuyến pháp tuyến có dạng: phương trình tiếp tuyến tại điểm, phương trình tiếp tuyến qua điểm, phương trình tiếp tuyến khi biết k và phương trình tiếp tuyến là đường thẳng chứa tham số m. Cụ thể hơn về cách viết phương trình tiếp tuyến, chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài viết dưới đây của CMath.

Lý thuyết về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Ý nghĩa hình học đạo hàm của phương trình tiếp tuyến:

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M(x0,y0).

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0,y0) là: y = y'(x0)(x-x0)+y0.

Nguyên tắc chung để ta có thể lập được phương trình tiếp tuyến là phải tìm được hoành độ của tiếp điểm x0.

 phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Các dạng bài tập thường gặp

Sau đây sẽ là các dạng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà các bạn học sinh cần phải nắm vững để làm các bài tập cơ bản và nâng cao.

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Phương pháp giải:

  • Cho đồ thị (C):y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0,y0).
  • Bước 1: Tính đạo hàm y’=f(x)’ hệ số góc của tiếp tuyến k=y'(x0).
  • Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x0,y0) có dạng: y=y'(x0)(x-x0)+y0.
  • Lưu ý: một số bài toán có thể đưa về các dạng như thế này:
  • Nếu đề bài cho thông tin hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm yo bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: y0=f(x0).
  • Nếu đề bài cho thông tin tung độ tiếp điểm y0 thì tìm x, bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: f(x0)=y0.
  • Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C):y=f(x) và đường đường thẳng (d): y=ax+b. Khi đó, các hoành độ tiếp điểm sẽ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị (d)(C).
  • Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp điểm đi qua điểm A(xA;yB).

  • Cách 1: Sử dụng đồ kiện tiếp xúc của 2 đồ thị:
  • Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yB) với hệ số góc k có dạng: y=k(x-xA)+yA (*).
  • Bước 2: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: f(x)=k(x-xA)+yAf'(x)=k.
  • Bước 3: Giải hệ phương trình trên, sau khi tìm được x và k, ta thế vào phương trình (*) và được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
  • Cách 2: Sử dụng phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm:
  • Bước 1: Gọi M(x0;f(x0)) là tiếp điểm, tính hệ số góc k theo x0.
  • Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d):y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) (**). Vì điểm A(xA;yA)(d) nên giải phương trình yA=f'(x0)(x-x0)+f(x0) ta tìm được x0.
  • Bước 3: Thay x0 vừa tìm được vào phương trình (**) ta được phương trình tiếp tuyến cần viết.

Viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Phương pháp giải:

  • Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (d) với đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.
  • Bước 1: Gọi điểm M(x0;y0) là tiếp điểm và tính đạo hàm y’=f'(x).
  • Bước 2: Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k, sau đó ta giải phương trình k=f'(x0) ta tìm được x0 rồi suy ra y0.
  • Bước 3: Với mỗi tiếp điểm khác nhau ta sẽ viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng (d):y=y0‘(x-x0)+y0.
  • Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến ở các dạng như sau:
  • Tiếp tuyến song song với một đường thẳng, ví dụ d//:y=ax+bk=a. Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì ta cần kiểm tra lại xem tiếp tuyến có trùng với đường thẳng hay không, nếu trùng thì ta loại bỏ kết quả đó.
  • Tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng, ví dụ d:y=ax+bk.a=-1k=-1a.
  • Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc thì k=tan.
  • Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng :y=ax+b một góc , khi đó ta có: k-a1+ka=tan.

Bài toán chứa tham số

Phương pháp giải:

Sử dụng một trong các phương pháp giải của các dạng toán đã được đề cập ở trên và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho hàm số y=-2x³+6x²-5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M và có hoành độ bằng 3.

Hướng dẫn giải

Ta có y’=-6×2+12x; y'(3=-18; y(3)=-5.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là y=-18(x-3)-5=-18x+49.

Bài tập 2: Cho hàm số (C):y=1/4x4-2x². Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0>0 biết rằng y”(x0)=-1.

Hướng dẫn giải

Ta có y’=x3-4x; y”=3x2-4

y”(x0 )=-13x0²-4=-1x02=1x0=1 (Vì x0>0).

Với x0=1y0=-7/4 ; y0‘=-3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y=-3(x-1)-7/4=-3x+5/4.

Bài tập 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y(x-5)/(-x+1) tại điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.

Hướng dẫn giải

Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình (x-5)/(-x+1)=0x= 5.

Khi đó tọa độ điểm A=(5;0).

Điều kiện xác định: x1. Ta có y’=(-4)/(-x+1)²; y'(5)=-1/4.

Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A(5;0) có dạng y=-1/4(x-5)=-1/4 x+5/4.

Bài tập 4: Cho đồ thị hàm số y=3x-4x2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), ta biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1;3).

Hướng dẫn giải

Ta có y’=3-8x.

Ta gọi điểm M(x0;y0) là tọa độ của tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y=(3-8x0)(x-x0)+3x0-4x0².

Vì tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1;3) nên ta được:

3=(3-8x0)(1-x0)+3x0-4x0²4x02-8x0=0x0=0 hoặc x0=2.

Với x0=0 thì y(x0)=0 và y'(x0)=3. Khi đo phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=3(x-0)+0=3x.

Với x0=2 thì y(x0)=-10 và y'(x0)=-13. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=-13(x-2)-10=-13x+16.

Bài tập 5: Cho hàm số y=x3-3x2+6x+1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi điểm M(x0;y0) là tọa độ của tiếp điểm.

Ta có y’=3x2-6x+6.

Khi đó y'(x0)=3x2-6x+6=3(x0²-2x0+2)=3[(x0-1)2+1]3.

Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y’ (x0)=3, dấu bằng xảy ra khi x0=1.

Với x0=1 thì y(x0)=5 và y'(x0)=3. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=3(x-1)+5=3x+2.

Bài tập 6: Cho hàm số (C):y=x³-3x+2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), ta biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Hướng dẫn giải

Gọi điểm M(x0;y0) là tọa độ của tiếp điểm.

Ta có y’=3x2-3.

Khi đó y'(x0)=3x0-3=9 thì y(x0)=4 và y'(x0)=9.

Với x0=2 thì y(x0)=4 và y'(x0)=9. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=9(x-2)+4=9x-14.

Với x0=-2 thì y(x0)=0 và y'(x0)=9. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=9(x+2)+0=9x+18.

Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=-x-2x2+3 vuông góc với đường thẳng :x-8y+2017=0.

Hướng dẫn giải

Ta có y’=-4x3-4x.

Ta gọi tọa độ của tiếp điểm là điểm M(x0;y0).

Phương trình :x-8y+2017=0 hay :y=1/8x+2017/8.

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d:y=1/8x+2017/8 nên ta có y'(x0)=-8 hay -4x03-4x0=-8x0=1.

Với x0=1y(x0)=0 và y'(x0)=-8. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8(x – 1) +0 = -8x + 8.

>> Tham Khảo:

Hướng dẫn cách tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

Toán 9 – Tổng hợp lý thuyết chương 3: Góc và đường tròn

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là gì? Cách xác định đường tiệm ngang của đồ thị hàm số

Kết luận

Bài viết trên đây là tất tần tật mọi thông tin về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, một chuyên đề kiến thức vô cùng quan trọng và xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra. Nếu có bất kỳ câu hỏi hay thắc mắc gì các bạn có thể liên hệ CMath để được tư vấn trực tiếp.

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn