• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Bài tập lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

30/04/2022 - 03:04 AM - 4522 Lượt xem

Đối với chương trình toán học đại số, đồ thị hàm số luôn là chuyên đề quá quen thuộc. Nó có rất nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao và được vận dụng trong rất nhiều trường hợp. Chính vì thế mà đồ thị hàm số là một trong những dạng toán thường hay xuất hiện trong rất nhiều đề thi. Một trong số kiểu toán đó không thể không kể đến bài tập về lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Hãy Cmath tìm hiểu về những lý thuyết cơ bản và các dạng bài tập xoay xung quanh dạng toán này trong bài viết dưới đây nhé.

Lý thuyết cơ bản về lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Hầu hết ở các bài tập cơ bản về lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số luôn có những phương pháp làm bài và các bước khảo sát chung có thể áp dụng cho các bài tập vẽ đồ thị hàm số khác.

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = f(x):

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số:

+ Xét sự biến thiên của hàm số:

  • Tính đạo hàm bậc nhất của f′(x)
  • Tìm các điểm mà tại điểm đó f′(x) = 0 hoặc không xác định
  • Xét dấu đạo hàm của f′(x). Từ đó suy ra được chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị ( cực đại, cực tiểu ) của hàm số đó

+ Tìm các giới hạn tại vô cực y  , y  , các giới hạn cho ra kết quả vô cực (= ± ∞) và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( nếu có )

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

+ Xác định các điểm trên trục sao cho giao với Ox, Oy có tọa độ nguyên

+ Chỉ ra tâm đối xứng và trục đối xứng ( nếu có )

+ Thể hiện rõ trên đồ thị hàm số các điểm giao của đồ thị với các trục, các điểm cực trị và các đường tiệm cận ( nếu có )

Lưu ý:

+ Nếu đồ thị hàm số lẻ sẽ nhận gốc tọa độ O ( 0; 0) làm tâm đối xứng

+ Nếu đồ thị hàm số chẵn sẽ nhận trục Oy làm trục đối xứng

+ Đồi thị hàm số bậc nhất và đồ thị hàm số phân thức bậc nhất sẽ nhận giao của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

+ Điểm I (x0, f(x0) ), trong đó x0  là nghiệm phương trình f′′( x0 ) = 0 là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba

Một số dạng đồ thị thường gặp

  • Đồ thị hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)

Lưu ý: Nếu ac < 0 thì đồ thị của hàm số có 2 điểm cực trị nằm ở 2 phía so với trục tung Oy.

  • Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: y = ax4 + bx2 +c ( a ≠s 0)

  • Đồ thị hàm số bậc nhất/ phân thức bậc nhất: y = ax+ bcx+ d ( c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)

                                                                             

Sự tương giao của các đồ thị hàm số

Cho hai đồ thị y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là:

 f(x) = g(x) (1)

Trường hợp 1: Nếu (1) vô nghiệm thì (C1) và (C2) sẽ không có điểm chung. Tức là Hai đồ thị hàm số này không cắt nhau và không có sự tương giao với nhau.

Trường hợp 2: Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì hai đồ thị hàm số thì (C1) và (C2) sẽ giao nhau tại n điểm phân biệt, trong đó nghiệm của phương trình (1) sẽ là các hoành độ giao điểm.

Lưu ý:

+ Hai đồ thị hàm số (C1) tiếp xúc với (C2) khi và chỉ khi        f(x) = g(x)    

                                                                                                  f′(x) = g′(x)

có nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị trên.

+ Đường thẳng (d): y = mx + n tiếp xúc với parabol y = ax2 + bx + cy ( a≠0a≠0 ) khi và chỉ khi       ax2 + bx +c = mx + n    có nghiệm

                            2ax + b = m

Và phương trình ax2 + bx + c = mx + nax2 + bx + c = mx + n có nghiệm kép.

Một số kiến thức nâng cao thường gặp
Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x). Với a > 0, ta có:

  • Hàm số y = f(x) + a có đồ thị hàm số ( C’) tịnh tiến theo đồ thị (C) theo phương trục tung Oy lên trên a đơn vị
  • Hàm số y = f(x) – a có đồ thị hàm số ( C’) tịnh tiến theo đồ thị (C) theo phương trục tung Oy bên dưới a đơn vị
  • Hàm số y = f( x + a ) có đồ thị hàm số ( C’) tịnh tiến theo đồ thị (C) theo phương trục hoành Ox sang bên trái a đơn vị
  • Hàm số y = f( x – a ) có đồ thị hàm số ( C’) tịnh tiến theo đồ thị (C) theo phương trục hoành Ox sang bên phải a đơn vị
  • Hàm số y = f (-x) có đồ thị hàm số ( C’ ) đối xứng với đồ thị (C) qua trục tung Oy
  • Hàm số y = – f (x) có đồ thị hàm số ( C’ ) đối xứng với đồ thị (C) qua trục hoành Ox
  • Hàm số y = f(|x|) =         f (x) khi x > 0                         có (C’) bằng cách:

                                                                      f ( – x ) khi < hoặc = 0

Giữ nguyên phần bên phải trục Oy và bỏ phần bên trái trục Oy của đồ thị hàm số (C). Sau đó lấy đối xứng phần bên phải trục Oy của đồ thị (C) qua Oy.

  • Hàm số y = | f(x) | =       f(x) khi f(x) > 0                  có (C’) bằng cách:

  – f(x) khi < hoặc = 0

Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (C) nằm bên trên trục Ox. Qua Ox, lấy phần đối xứng nằm bên dưới Ox của đồ thị (C) lên bên trên và bỏ phần đồ thị (C) nằm bên dưới Ox.

Ví dụ về bài tập lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x3 − 3x2 + 2 .

Lời giải:

Tập xác định: D = R

Ta có: 

y′ = 3x2 − 6x 

y′= 0 3x2 − 6x = 0 x = 0

x = 2

y  = −∞; y  = +∞

Ta có bảng biến thiên:

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ví dụ 1

Suy ra:

Hàm số đồng biến trên (−∞;0)(−∞;0) và (2;+∞)(2;+∞).

Hàm số nghịch biến trên (0;2).(0;2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; giá trị cực đại là y = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; giá trị cực tiểu là y = -2.

Có: y′′= 6x − 6

​y′′=0 6x – 6 = 0 x = 1 

Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) làm tâm đối xứng.

Cho: x = −1 y = −2 ; x = 3 y = 2

Vẽ đồ thị hàm số:

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 1 .

Lời giải:

Tập xác định: D = R

Ta có:

y′ = −4xx3 + 4x

y′ = 0 −4x3 + 4x = 0 x = 0

x = ±1

y  = −∞; y  = −∞ 

Lập bảng biến thiên:

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ví dụ 2

Suy ra:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−1) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1 với giá trị cực đại y = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 với giá trị cực tiểu y = 1.

Đồ thị hàm số nhậc trục Oy là trục đối xứng.

Ta có: y = 0 x4 + 2x2 + 1 = 0 ⇔ x= ± 1+ 2

Vẽ đồ thị hàm số

 

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x + 1x-1

Tập xác định: D = R{1}

Ta có: y′ = 2/ ((x-1 )2) < 0

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1);(1;+∞)

Hàm số không có cực trị.

Ta có:

y  = +∞;  y   = −∞. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.

y   = 1 ; y   = 1. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang.

Lập bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng.

Cho: x=0 y= −1; y=0 x = −1.

Vẽ đồ thị hàm số

Kết luận

Trên đây là những lý thuyết và ví dụ về bài tập lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Hy vọng, qua bài viết này, Cmath cung cấp cho các bạn học sinh những kiến thức cơ bản về đồ thị hàm số, giúp các bạn tự tin hơn khi làm bài. 

>>> Tham khảo thêm:

Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn