• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Hàm số mũ là gì? Lý thuyết về hàm số mũ – hàm số logarit

29/04/2022 - 05:16 PM - 231 Lượt xem

Hàm số mũ và hàm số logarit là một trong những chuyên đề kiến thức Toán học vô cùng quan trọng trong chương trình lớp 12 của các bạn học sinh. Xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra và bài thi trung học phổ thông quốc gia. Vì vậy điều đầu tiên các em cần làm khi học chương này là nắm thật vững kiến thức từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết sau đây CMath sẽ giúp các bạn củng cố những kiến thức quan trọng nhất của các hàm số này nhé.

Lý thuyết về hàm số mũ và các hàm số logarit

Tại sao khi ôn tập lý thuyết hàm số mũ chúng ta cần học về lũy thừa? Vì bản chất của hàm số mũ là lũy thừa. Nói cách khác, lũy thừa có thể khai triển thành hai dạng hàm là hàm số lũy thừa và hàm số mũ. Do đó, các phép tính, công thức biến đổi, điều kiện của hàm số mũ đều được suy ra từ lũy thừa. Nếu bạn biết về lũy thừa thì việc ôn tập lý thuyết hàm số mũ sẽ trở nên dễ dàng và nhanh chóng hơn rất nhiều.

Kiến thức về lũy thừa và các tính chất liên quan đến hàm số mũ

Hàm lũy thừa là một phép toán viết dưới dạng an, gồm cơ số a và lũy thừa n. Khi n là một số nguyên dương thì lũy thừa được hiểu là phép nhân của n cơ số a.

Các tính chất của lũy thừa áp dụng trong lý thuyết về hàm số mũ:

  • Tính chất về đẳng thức khi cho a0;b0;m,nR, ta được:
  • am.an=am+n
  • aman=am-n
  • (am)n=am.n
  • (a.b)m=am.bn
  • (ab)m=ambm
  • Tính chất bất đẳng thức:
  • So sánh cùng cơ số khi cho m,nR, ta được:

TH1: Với a>1 thì am>anm>n

TH2: Với 0<a<1 thì am>anm<n

  • So sánh cùng số mũ:

TH1: Với số mũ dương n>0:a>b>0an>bn

TH2: Với số mũ âm n<0:a>b>0an<bn

Định nghĩa và đạo hàm về hàm số mũ

Hàm số được gọi là hàm số mũ với cơ số a là hàm số y=f(x)=ax với a là số thực dương khác 1.

2 định lý công thức đạo hàm của hàm số mũ:

  • Định lý 1: Hàm số y=ex có đạo hàm với mọi x và có hàm (ex)’=ex.
  • Định lý 2: Hàm số y=ax(a>0,a1) có đạo hàm tại mọi x và (ax)’=axlna.

Lưu ý: hàm ngược với hàm số trên là hàm số logarit.

  • Bảng tính chất: Xét hàm số y=ax với a>0,a1:

Định nghĩa và đạo hàm về hàm số logarit

Cho số thực a>0,a1, hàm số y=logax gọi là hàm số logarit cơ số a.

Tập xác định: Hàm số y=logax (0<a1) có tập xác định là D=(0;+).

Tập giá trị: Do logaxR nên hàm số y=logax có tập giá trị là T=R.

Ta có các trường hợp sau:

  • Hàm số y=loga[P(x)] điều kiện P(x)>0. Nếu a chứa biến số x thì ta bổ sung thêm vào điều kiện 0<a1.
  • Hàm số y=loga[P(x)]n điều kiện P(x)>0 nếu n lẻ; P(x)0 nếu n chẵn.

Các công thức của hàm số logarit thường gặp nhất:

  • Hàm số y=logax có đạo hàm là: y’=1xlna.
  • Trường hợp tổng quát hơn, ta có: y’=u'(x)u(x)lna.
  • Bảng công thức đầy đủ hơn:

Tính chất hàm số logarit

Với hàm số y=logaxy’=1xlna(x(0;+)). Ta được:

  • Với a>1 ta có (logax)’=1xlna>0. Hàm số trên đồng biến trên khoảng (0;+), đồ thị mà ta có được nhận được trục tung là tiệm cận đứng.
  • Với 0<a<1 ta có (logax)’=1xlna<0. Hàm số trên nghịch biến trên khoảng (0;+), đồ thị mà ta có được nhận được trục tung là tiệm cận đứng.

Đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

Để vẽ chính xác đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit, bạn phải thực hiện đúng thứ tự theo hướng dẫn dưới đây để tránh nhầm lẫn. Sau đó, khi đã thành thạo, bạn có thể bỏ qua một số bước để vẽ giảm thời gian.

Các bước vẽ đồ thị hàm số mũ

Khảo sát đồ thị hàm số y=ax(a>0,a1):

  • y=ax,a>1
  • Tập xác định: R.
  • Sự biến thiên: y=axlna>0x.
  • Giới hạn đặc biệt: xax=0,x+ax=+.
  • Tiệm cận: nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.
  • Bảng biến thiên:

  • Đồ thị:

  • y=ax,0<a<1
  • Tập xác định: R.
  • Sự biến thiên: y=axlna<0x.
  • Giới hạn đặc biệt: xax=+,x+ax=0.
  • Tiệm cận: nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.
  • Bảng biến thiên:

  • Đồ thị:

Chú ý: đối với các hàm số y=(12)x,y=10x,y=ex,y=2x sẽ có dạng đặc biệt như sau:

Cách vẽ đồ thị hàm số logarit

Xét hàm số y=logax ta có 4 bước sau đây:

  • Bước 1: Tìm tập xác định

Tập xác định là D=(0;+),y=logax,xR.

  • Bước 2: Xác định giá trị a
  • TH1: Hàm số đồng biến trên R khi a>1.
  • TH2: Hàm số nghịch biến trên R khi 0<a1.
  • Bước 3: Đồ thị đi qua điểm (1;0), bên phải trục tung và nhận tung Oy làm tiệm cận đứng.
  • Bước 4: Tiến hành vẽ đồ thị

Một số bài tập thường gặp về hàm số mũ và hàm số logarit

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập 1: Hàm số y=ln(x2+mx+1) xác định với mọi giá trị của x khi và chỉ khi:

  1. m<-2 hoặc m>2
  2. m>2
  3. -2<m<2
  4. m<2

Bài tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=log3(-m2+mx+2m+1) xác định với mọi x thuộc khoảng (1;2).

  1. m<-13
  2. m34
  3. m>34
  4. m13

Bài tập 3: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=ln[(m-1)x-m+2] xác định với mọi x thuộc đoạn [0;2].

  1. 0<m<2
  2. 1m<2
  3. m>2
  4. m1

Bài tập 4: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y=log(x2-2mx+4) có tập xác định D=R.

  1. m>2m<-2
  2. m=2
  3. m<2
  4. -2<m<2

Bài tập 5: Số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=log(mx-m+2) xác định trên [12;+).

  1. 4
  2. 5
  3. Vô số
  4. 3

Bài tập 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=log2018(2018x-x-x22-m) xác định với mọi giá trị của x thuộc [0;+).

  1. m>9
  2. m<1
  3. m>2
  4. m<9

Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=log(x2-2mx+4) có tập xác định là D=R.

  1. -2m2
  2. -2<m<2
  3. m>2 hoặc m<-2
  4. m=2

Bài tập vận dụng

Bài tập 1:

Tìm cực trị của hàm số y=log2(x3-4x).

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định x3-4x>0-2<x<0 và x>2.

y’=(x3-4x)’(x3-4x).ln2=3x2-4x(x3-4x).ln2

y’=0x=-23 hoặc x=23

Vẽ bảng biến thiên, ta thấy được hàm số có một cực trị.

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=log2(x2-2x+3) trên đoạn [-1;2].

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=R.

y’=(x2-2x+3)’(x2-2x+3).ln2=2x-2(x2-2x+3).ln2

y’=0x=1

y(-1)=log27;y(1)=1;y(2)=log23

Nên suy ra min[-1;2]y=1;min[-1;2]y=log27

Bài tập 3: Cho hàm số y=eax2+bx+c đạt cực đại tại x=1 và đồ thị hàm số cắt trục tung Oy tại điểm có y=e. Tính giá trị của hàm số tại x=2.

Hướng dẫn giải

Cắt Oy tại y=e nên c=1.

y’=(ax+b).eax2+bx+c. Mà y'(1)=02a+b=0

Khi đó y(2)=e4a+2b+c=e.

Bài tập 4: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y=(3x2+2m)5 đạt giá trị lớn nhất bằng 32 trên đoạn [2;3].

Hướng dẫn giải

Ta có y’=30x(3x2+2m)40,x[2;3] Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=3.

y(3)=32(27+2m)5=32m=-252.

Học toán online cùng CMath Education

Nếu bạn đang băn khoăn không biết nên chọn nơi nào uy tín, chất lượng để ôn tập và rèn luyện tư duy học Toán cũng như chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia thì hãy đến với CMath – Câu lạc bộ toán học muôn màu.

Khi đến với CMath, quý phụ huynh và các bạn học sinh có thể hoàn toàn yên tâm về chất lượng giảng dạy cũng như đội ngũ giáo viên, trợ giảng, chủ nhiệm lớp. Các giáo viên ở đây là những giáo viên lâu năm trong lĩnh vực giáo dục với chương trình đào tạo được chọn lọc và biên soạn đặc biệt, từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp với khả năng học tập của từng  học sinh.

CMath có lộ trình ôn thi được thiết kế đầy đủ kiến thức từ các bài tập nhận biết đến vận dụng, vận dụng cao cho các bạn ôn luyện. Hãy nhanh tay đến với CMath để được hỗ trợ tốt nhất các bạn nhé.

 

Bài viết trên đây là những thông tin chi tiết về lý thuyết hàm số mũ và hàm số logarit mà các bạn học sinh cần nắm vững để học tập tốt hơn. Chúc bạn học giỏi và đạt điểm cao trong các kỳ thi nhé. Nếu có thắc mắc cần giải đáp các bạn học sinh có thể liên hệ CMath để được hỗ trợ. 

>>> Tham khảo thêm:

Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn