Toán 9 – Tổng hợp lý thuyết chương 3: Góc và đường tròn

Góc và đường tròn là chuyên đề kiến thức rất quan trọng trong phần hình học của môn Toán. Xuất hiện khá nhiều trong các bài kiểm tra và thậm chí là bài thi trung học phổ thông quốc gia sau này của các bạn. Chính vì vậy, các bạn học sinh cấp 2 nên nắm vững kiến thức này ngay từ bây giờ để có thể học tốt môn Toán và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra. Sau đây hãy cùng CMath củng cố và xem lại lý thuyết về chuyên đề thú vị này nhé.

Góc và đường tròn: Định nghĩa về góc ở tâm

1. Góc ở tâm

• Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn đó thì được gọi là góc ở tâm.

Ví dụ: AOB là góc ở tâm (h1).

• Nếu 0°<a<180° thì cung nằm phía trong góc ta gọi là cung nhỏ, cung nằm phía ngoài góc ta gọi là cung lớn.
• Nếu a=180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn.
• Cung nằm bên trong góc ta gọi cung đó là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.

1. Số đo cung

• Số đo của phần cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung nhỏ đó.

Ví dụ: AOB=số đo AB (h1).

• Số đo của phần cung lớn bằng hiệu giữa 360° với số đo của phần cung nhỏ.
• Số đo một nửa của một đường tròn bằng 180º. Cả đường tròn có số đo 360º. Cung không có số đo 0°.

1. So sánh hai cung

• Trong một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau thì:

• Hai cung bằng nhau nếu chúng bằng nhau về số đo.
• Cung nào có số đo lớn hơn trong hai cung thì được gọi là cung lớn.

1. Định lý

• Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì số đo AB = số đo AC + số đo CB.

Góc và đường tròn: Lý thuyết liên hệ giữa cung và dây

Định lý 1:

• Với hai cung nhỏ trong hai đường tròn hay trong một đường tròn bằng nhau thì:

• Hai cung bằng nhau thì sẽ căng hai dây bằng nhau.
• Hai dây bằng nhau thì sẽ căng hai cung bằng nhau.
• Ví dụ: AB=CD AB=CD.

Định lý 2:

• Với hai cung nhỏ trong hai đường tròn hay hai cung nhỏ trong một đường tròn bằng nhau thì:

• Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
• Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
• Ví dụ: AB>CD AB>CD.

Chú ý:

• Trong một đường tròn:

• Hai cung chắn giữa hai dây song song bằng nhau.
• Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung nào đó thì nó cũng đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
• Đường kính đi qua trung điểm của một dây nhưng không đi qua tâm của dây đó thì sẽ đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
• Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì sẽ vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Góc và đường tròn: Định nghĩa về góc nội tiếp

Định nghĩa

• Góc nội tiếp là một góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh có chứa hai dây cung của đường tròn đó.
• Cung nằm phía trong góc nội tiếp thì gọi là cung bị chắn.

Ví dụ: trên h1, ACB là góc nội tiếp chắn AB.

Định lý

• Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp sẽ bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ: trên h1, số đo ACB bằng nửa số đo cung nhỏ AB.

Hệ quả

• Trong một đường tròn:

• Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau.
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn những cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.
• Góc nội tiếp có số đo bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn được gọi là góc vuông.

Góc và đường tròn: Góc tạo bởi 2 đường tiếp tuyến và dây cung

Định nghĩa:

• Cho đường tròn tâm (O) có tia Ax là tia tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dây cung AB. Khi đó, BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Ví dụ: BAx (h1) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây cung AB.

Định lý:

• Số đo của một góc được tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung thì bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ: Số đo góc BAx (h1) bằng nửa số đo cung nhỏ AB.

Hệ quả:

• Trong một đường tròn thì góc được tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Ví dụ: BAx=ACB (h2).

Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn và góc có đỉnh bên trong đường tròn

1. Góc có đỉnh ở phía bên trong của đường tròn

Định nghĩa:

• Trong h1, BIC nằm trong đường tròn (O) được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

Định lý

• Số đo của góc đỉnh ở phía trong đường tròn sẽ bằng một nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ: Trong hình 1, BIC=12(sđBC+sđAD).

1. Góc có đỉnh ở phía bên ngoài của đường tròn

Định nghĩa

• Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn (h2, 3, 4) là góc có đỉnh phía ngoài đường tròn.

Định lý

• Số đo của góc có đỉnh phía ngoài đường tròn sẽ bằng một nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ: Trong h2, BID=12(sđBD-sđAC.

• Trong h3, BIC=12(sđBC-sđAC).
• Trong hình 4, AIC=12(sđAmC+sđAnC).

Góc và đường tròn: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp

Định nghĩa

• Đường tròn khi đi qua tất cả đỉnh của một đa giác thì sẽ được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và được gọi là nội tiếp của đường tròn.
• Đường tròn khi tiếp xúc với mọi cạnh của một đa giác thì được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và được gọi là ngoại tiếp của đường tròn.

Định lí

• Bất kỳ một đa giác đều nào cũng có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp.
• Tâm của một đường tròn nội tiếp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, được gọi là tâm của đa giác đều.

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.

• Đa giác đều có n cạnh với độ dài mỗi cạnh là a, r là bán kính đường tròn nội tiếp và R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác.
• Ta có:

Góc và đường tròn: Tứ giác nội tiếp trong đường tròn

Định nghĩa

• Tứ giác nội tiếp đường tròn là một tứ giác có 4 đỉnh nằm bên trên của đường tròn đó.

Ví dụ: Trong h1, ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp với tứ giác ABCD.

Định lý

• Tổng số đo hai góc đối diện trong một tứ giác nội tiếp bằng 180°.
• Nếu một tứ giác với tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì nội tiếp đường tròn.

Ví dụ: Trong h1, tứ giác ABCD nội tiếp có A+O=180°; B+D=180°.

Một số dấu hiệu có thể nhận biết được tứ giác nội tiếp:

• Tổng hai góc đối diện =180°.

• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng với góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.
• Bốn đỉnh của tứ giác cách đều với một điểm thì điểm đó được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Hai đỉnh kề nhau của một tứ giác cùng nhìn vào cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a.

Chú ý: hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân là các hình nội tiếp đường tròn.

Các dạng toán thường gặp

• Dạng 1: Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp

• Phương pháp: để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng các cách sau:

Cách 1. Chứng minh tứ giác có hai góc đối với tổng bằng 180°.

Cách 2. Chúng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc a.

Cách 3. Chứng minh tứ giác có một góc bên ngoài tại một đỉnh bằng với góc bên trong đỉnh đối với đỉnh đó.

Cách 4. Tìm được điểm cách đều với 4 đỉnh của một tứ giác.

• Dạng 2: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, hệ thức giữa các cạnh, các đường thẳng song song,…

• Phương pháp: dùng các tính chất của tứ giác nội tiếp.

Góc và đường tròn: Độ dài đường tròn và cung tròn

Công thức tính độ dài đường tròn

• Cho đường tròn (O;R), độ dài (C) của đường tròn (hay chu vi của đường tròn) là: C=2R hay C=d với d=2R là đường kính của (O).

Công thức tính độ dài cung tròn

• Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n° được tính theo công thức: l=Rn180.

Các dạng toán thường gặp

• Dạng 1: Tính độ dài đường tròn và cung tròn

• Phương pháp: sử dụng các công thức tính chu vi đường tròn, độ dài cung tròn.

• Dạng 2: Bài toán tổng hợp

• Phương pháp: sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kính đường tròn. Từ đó ta tính được độ dài đường tròn, cung tròn.

Góc và đường tròn: Diện tích hình tròn, quạt tròn

Công thức tính diện tích của hình tròn

• Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức S=R2.

Công thức tính diện tích của hình quạt tròn

• Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n° được tính theo công thức: S=R2n360 hay S=lR2 (với 1 là độ dài cung n°của hình quạt tròn).

Các bài toán thường gặp

• Dạng 1: tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và các đại lượng liên quan

• Phương pháp: áp dụng các công thức tính diện tích hình tròn S=R2 và diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n°: S=R2n360 hay S=lR2 (với 1 là độ dài cung n°của hình quạt tròn).

• Dạng 2: Bài toán tổng hợp

• Phương pháp: sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kính đường tròn. Từ đó ta tính được diện tích của hình tròn và hình quạt tròn.

Kết luận

Bài viết trên đây đã tổng hợp tất cả kiến thức các bạn học sinh cần biết về góc và đường tròn. Hy vọng những kiến thức hữu ích trên đây sẽ giúp các bạn học môn Toán học tốt hơn và có số điểm cao trong các bài kiểm tra cũng như các kỳ thi. Nếu có bất kỳ thắc mắc hoặc câu hỏi nào các bạn có thể để lại lời nhắn hoặc liên hệ với đội ngũ tư vấn tại CMath – Câu lạc bộ toán học muôn màu để được giải đáp sớm nhất.

>>> Có thể bạn quan tâm:

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số đơn giản, dễ hiểu

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

• CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu

• Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
• Hotline: 0973872184 – 0834570092
• Email: clbcmath@gmail.com
• FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
• Website: cmath.vn