Tìm tập giá trị của hàm số là một trong những bước giải toán quan trọng để làm đúng một bài tập từ cơ bản hay nâng cao. Tuy nhiên các bạn học sinh đã biết cách tìm tập giá trị như thế nào cho đúng với từng loại hàm số khác nhau hay chưa? Cùng CMath theo dõi bài viết sau đây để nắm vững kiến thức về tập giá trị các bạn nhé.
Định nghĩa về tập giá trị của hàm số và tập giá trị của các hàm số cơ bản
Ba định nghĩa về tập giá trị của các hàm số như sau:
- Định nghĩa thứ nhất:
- Cho tập XR. Ánh xạ f:X→R được gọi là hàm số xác định trên tập hợp X. Tập X gọi là tập xác định hay còn gọi là miền xác định của hàm số f.
- Tập ảnh f(X)={f(x):xX} được gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f.
- Định nghĩa thứ hai:
- Cho XR. Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi biến số xX xác định được một giá trị tương ứng yR thì quy tắc f được gọi là một hàm số của x và được viết là y=f(x). x được gọi là biến số hay đối số và y gọi là giá trị của hàm số tại x.
- Tập hợp tất cả các giá trị y với y=f(x); xX gọi là tập giá trị của một hàm số f.
- Định nghĩa thứ ba:
- Cho XR. Một hàm số f xác định trên tập hợp X là một quy tắc f tương ứng với mỗi phần tử xX xác định duy nhất tại một phần tử yR.
x được gọi là biến số hoặc được gọi là đối số .
y được gọi là giá trị của hàm số tại biến số x.
X được gọi là tập xác định hoặc gọi là miền xác định của một hàm số.
- Tập giá trị của hàm số T=f(X)={f(x):xX}.
Tập giá trị của một số hàm số cơ bản:
- Hàm hằng số:
y=f(x)=c
Tập xác định: D=R
Tập giá trị: T={c}
- Hàm số bậc nhất:
y=f(x)=ax+b (a0)
Tập xác định: D=R
Tập giá trị: T=R
- Hàm số bậc hai:
y=ax2+bx+c (a0)
Tập xác định: D=R
Tập giá trị:
- Nếu a>0 thì tập giá trị của một hàm số là T=[-4a;+).
- Nếu a<0 thì tập giá trị của một hàm số là T=(-;-4a].
- Hàm số y=x:
Tập xác định: D=R
Tập giá trị: T=R*
- Hàm số y=[x]:
Tập xác định: D=R
Tập giá trị: T=Z
- Hàm số lượng giác:
- y=sinx,y=cosx có tập giá trị là T=[-1;1].
- y=tanx,y=cotx có tập giá trị là T=R.
- Hàm số mũ:
y=ax;0<a1
Tập xác định: D=R
Tập giá trị: T=R*
- Hàm số logarit:
y=logax;0<a1
Tập xác định: D=R*
Tập giá trị: T=R
Phương pháp để tìm tập giá trị của hàm số
Tìm hiểu các phương pháp tìm tập giá trị của hàm số cùng CMath ngay sau đây nhé.
Hướng dẫn tìm tập giá trị của hàm số
Phương pháp 1: Tìm tập xác định của các hàm số ngược
Như chúng ta đã biết hai hàm số ngược nhau thì tập giá trị của một hàm số này sẽ là tập xác định của hàm số kia và ngược lại. Vì vậy, để tìm tập giá trị của một hàm số ta có thể tìm tập xác định của hàm số ngược với hàm số đó.
Ví dụ minh họa:
Tìm tập giá trị của hàm số sau đây: y=3x-52x-1.
Hàm số có tập xác định D=R\{12}.
Với mọi xD, ta có:
y=3x-52x-1
y(2x-1)=3x+5
(2y-3)x=y+5
x=y+52y-3
Biểu thức trên có nghĩa khi và chỉ khi 2x-30y32.
Vậy tập giá trị của một hàm số là T=R\{32}.
Phương pháp 2: Tìm tập giá trị của hàm số từ điều kiện có nghiệm của phương trình
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình f(x)=y ta đánh giá được y[a;b] từ đó ta tìm được tập giá trị của một hàm số.
Ví dụ minh họa: Tìm tập giá trị của y=x2-x+1x2+x+1.
Ta có tập xác định của hàm số trên là D = R.
Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình sau có nghiệm:
y=x2-x+1x2+x+1
yx2+yx+y=x2-x+1
(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0
Nếu y=1 thì phương trình có nghiệm x=1.
Nếu y1 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
‘=(y+1)2-4(y-1)20
-3y2+10y-30
13y3
Vậy tập giá trị của hàm số là T=[13;3].
Ví dụ minh họa: Tìm tập giá trị của hàm số y=sinx+2cosx+32sinx+cosx+3.
Ta có tập xác định của hàm số trên là D=R.
y là 1 giá trị của hàm số trên thì phương trình sau có nghiệm
y=sinx+2cosx+32sinx+cosx+3
2ysinx+ycosx+3y=sinx+2cosx+3 có nghiệm
(2y-1)sinx+(y-2)cosx=3-3y có nghiệm
(2y-1)2+(y-2)2(3-3y)2
2y2-5y+20
12y2
Vậy tập giá trị của một hàm số là T=[12;2].
Phương pháp 3: Tìm tập giá trị của hàm số bằng cách khảo sát hàm số
Bằng phương pháp sử dụng đạo hàm để khảo sát các hàm số, lập bảng biến thiên hàm số. Dựa vào bảng biến thiên chúng ta có thể kết luận về tập giá trị của các hàm số.
Ví dụ minh họa: Tìm tập giá trị của một hàm số f(x,y)=(x+y)3x2y trên miền D={(x,y):x>0,y>0}.
Ta có: f(x,y)=(xy+1)2(xy)2, đặt xy=t với t0.
f(x,y)=g(t)=(t+1)3t2g'(t)=t(t+1)2(2t-1)t4=0t=12.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của hàm số trên là T=[274;+).
Nhận xét: Từ bảng biến thiên hàm số đã vẽ chúng ta có thể kết luận được các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số và đồng thời biện luận được về số nghiệm của phương trình và giải bất phương trình. Đó là một số ứng dụng của tập giá trị hàm số mà các bạn học sinh sẽ được tìm hiểu ở các phần sau.
Ứng dụng tập giá trị của hàm số và các phương trình
Khi sử dụng các bài toán tìm tập giá trị của một hàm số chúng ta cũng có thể giải quyết được một số bài toán quan trọng thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học – cao đẳng. Một số bài toán có thể ứng dụng tập giá trị của các hàm số như: chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, giải phương trình, giải bất phương trình.
Ứng dụng về tập giá trị của hàm số
Ứng dụng 1: Giải bất đẳng thức
Ví dụ minh họa: chứng minh ln(1+x)>x-x22 với mọi x>0.
Xét hàm số f(x)=ln(1-x)-x+x22 trên (0;+)
có f'(x)=1x+1-1+x=x2x+10x(0;+)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta được tập giá trị của hàm số là (0;+).
Vậy f(x)>0 với mọi x hay ta được điều phải chứng minh.
Ứng dụng 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ minh họa: Cho x,y là 2 biến số không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x2+y2x2+xy+4y2.
Nếu y=0 thì x0 và A=1
Nếu y0 thì ta được A=x2y2+1x2y2+xy+4
đặt xy=t ta có A=t2+1t2+t+4
Khảo sát hàm số ta được bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ bảng biến thiên trên ta có kết luận: min A=20-61020-510; max A=20+61020+510
Xác định tập giá trị của hàm số và xét cực trị
Ứng dụng 3: Giải phương trình
Ví dụ minh họa: Tìm tham số b để phương trình sau có nghiệm: x4-2x2-2b+2=0.
Nhận xét: Nếu áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình trùng phương thì bài toán trở nên rất phức tạp, nhiều trường hợp xảy ra.
Vì vậy ở đây chúng ta sử dụng phương pháp hàm số như sau:
Phương trình 2b=x4-2x2+2
đặt t=x2 thì t0 và 2b=t²–2t+2
Xét hàm số f(t)=1²–2t+2
f'(t)=2t – 2f'(t)=0t=1
Sau khi khảo sát ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình trên có nghiêm 2b1b12.
Học toán online cùng CMath Education
Nếu bạn đang băn khoăn không biết nên chọn nơi nào uy tín, chất lượng để ôn tập, rèn luyện tư duy toán học cũng như chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia, hãy đến với CMath – Câu lạc bộ toán học muôn màu.
Khi đến với CMath, phụ huynh và các bạn học sinh có thể hoàn toàn yên tâm về chất lượng giảng dạy cũng như đội ngũ giáo viên, trợ giảng, chủ nhiệm lớp. Đội ngũ giáo viên tại đây là những giáo viên lâu năm trong lĩnh vực giáo dục với chương trình đào tạo và biên soạn được chọn lọc đặc biệt, từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp với khả năng học tập của từng học sinh.
CMath có chương trình giảng dạy được thiết kế đầy đủ các kiến thức từ bài tập nhận biết đến vận dụng, vận dụng cao. Nhanh tay liên hệ với đội ngũ tư vấn tại CMath để được hỗ trợ tốt nhất.
Kết luận
Tập giá trị của hàm số là kiến thức mà các bạn học sinh phải nắm vững để ra kết quả chính xác trong các bài toán. Bài viết trên đây đã củng cố cho bạn những kiến thức quan trọng và trọng tâm nhất trong chuyên đề này. Nếu có bất kỳ thắc mắc hoặc câu hỏi nào các bạn hãy liên hệ với CMath để được hỗ trợ sớm nhất nhé.
>>> Có thể bạn quan tâm:
Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số đơn giản, dễ hiểu
Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2
Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa
THÔNG TIN LIÊN HỆ
- CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
- Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
- Hotline: 0973872184 – 0834570092
- Email: clbcmath@gmail.com
- FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
- Website: cmath.vn
