Hàm số trong phần đại số của chương trình toán học THPT luôn là một trong những kiến thức quan trọng, thường xuất hiện rất nhiều trong các đề thi với nhiều dạng bài toán liên quan từ cơ bản đến nâng cao. Một trong những chuyên đề của hàm số các bạn học sinh cần lưu ý đó chính là tính đạo hàm của hàm số. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng Cmath tổng hợp lại tất cả lý thuyết cần nhớ về tính đạo hàm của hàm số nhé.
Định nghĩa về tính đạo hàm
Bảng công thức tính đạo hàm của hàm số với biến x và hàm u
Đạo hàm được định nghĩa là tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số tại một điểm x0.
Cho một hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng ( a;b ) với x0 ( a;b ). Khi đó, ta có đạo hàm của hàm số tại điểm x0:
f’(x0) = fx-fx0x-x0
Chú ý:
Với ký hiệu: Δx = x – x0; Δy = f ( x0+ Δx ) – f ( x0 ), ta có đạo hàm:
f’(x0) = f x0– Δx – f ( x0 )x – x0 = ΔxΔy
Đặc biệt, nếu hàm số đó đạo hàm tại x0 thì nó sẽ liên tục tại điểm x0
Ý nghĩa của tính đạo hàm
Tính đạo hàm của hàm số có hai ý nghĩa hình học và vật lý
Ý nghĩa hình học
Cho đồ thị (C) có hàm số y = f(x), ta có:
Nếu f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) của hàm số y = f(x) tại một điểm M ( x0, y0 ) (C) thì khi đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M ( x0, y0 ) (C):
y = f’(x0) . ( x – x0 ) + y0
Ý nghĩa vật lý
- Vận tốc tức thời của chuyển động được xác định bởi phương trình s = s(t) tại một thời điểm t0 là:
v( t0 ) = s’ ( t0 )
- Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q (t) tại một điểm t0 là:
I ( t0 ) = Q’ ( t0 )
Quy tắc và một số công thức tính đạo hàm của hàm số
Một số công thức tính đạo hàm của hàm số đơn giản
Các quy tắc tính đạo hàm
Cho u = u(x); v= v(x) với C là hằng số
- Tổng, hiệu: ( u v)’ = u’ v’
- Tích: ( u.v )’ = u’.v + v’.u
=> QT mở rộng: ( C.u )’ = C.u’
- Thương: ( uv )’ = u‘.v- v‘.uv2 ( v 0 )
=> QT mở rộng: ( Cu )’ = – C.u’u2
- Đạo hàm hàm hợp:
Nếu u = u(x); y= f(u) => yx‘=yu‘ux‘
Các công thức tính đạo hàm
Bảng công thức tính đạo hàm sơ cấp và đạo hàm thứ cấp
Công thức tính nhanh đạo hàm phân thức:
( ax+ bcx+ d )’ = ad- bc(ax+ d )2
( ax2+ bx+ c dx2+ ex+ f )’ = a b d ⅇ x2+2a c d f x+ b c e f (dx2+ cx+ f )2
Công thức tính đạo hàm cấp 2:
- Theo định nghĩa: f’’(x) = [ f’(x) ]’
- Ý nghĩa cơ học:
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là: a(t0) = f’’(t0)
Các dạng bài tập tính đạo hàm thường gặp
Dạng 1: Tính đạo hàm theo định nghĩa
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa có 2 cách để tính đạo hàm:
Cách 1: Tính đạo hàm của hàm số theo quy tắc
- Cho x là một số gia Δx. Tìm số gia Δy theo công thức:
Δy = f ( x + Δx ) – f(x)
- Lập tỉ số yx
- Tìm giới hạn ΔxΔy
Cách 2: Vận dụng công thức:
f’(x0) = fx-fx0x-x0
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
Phương pháp giải:
Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x)
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M ( x0, y0 ):
y = f’(x0). ( x – x0 ) + y0 (1)
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của tiếp tuyến:
Đồ thị hàm số (C) có hệ số góc k và tiếp điểm M ( x0, y0 ). Khi đó ta có:
f’(x0) = k (1)
Giải phương trình (1), tìm x0→ y0= f(x0)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sẽ có dạng:
y = k. ( x – x0 ) + y0
Lưu ý:
– Nếu có hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng sẽ bằng nhau
– Nếu có hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hệ số góc của chúng sẽ bằng -1
– Hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm M ( x0, y0 ) (C)
=> k = f’(x0) = tan
Với là góc giữa tiếp tuyến và chiều dương của trục hoành.
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( x1, y1 )
Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) tại điểm M ( x0, y0 ) là:
y = f’(x0). ( x – x0 ) + y0 (1)
Do tiếp tuyến đi qua điểm A ( x1, y1 ), ta có:
y1 = f’(x0). ( x1 – x0 ) + f(x0) (2)
Giải phương trình (2), thế vào phương trình (1), ta sẽ được đường tiếp tuyến.
Bảng tổng hợp công thức tính đạo hàm của hàm số thường gặp
Dạng 3: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
Phương pháp giải:
Có 2 cách giải bài tập tính đạo hàm cấp cao
Cách 1: Dựa vào định nghĩa đạo hàm cấp 2: f’’(x) = [ f’(x) ]’
Cách 2: Dựa vào công thức tính đạo hàm cấp cao:
fn(x) = [ fn-1(x)]’ ( n N, n 2 )
Lưu ý: Để tính được đạo hàm cấp n của hàm số đó, đầu tiên ta phải đi tìm đạo hàm cấp 1,2,3,…. Từ đó, ta dự đoán được công thức tính đạo hàm cấp n. Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức đó.
Dạng 4: Tìm giới hạn bằng cách dùng định nghĩa đạo hàm
Phương pháp giải:
Để tính các giới hạn có dạng vô định, hãy áp dụng định nghĩa khi tính đạo hàm của hàm số:
f’(x0) = fx-f0x-x0
Viết giới hạn mà đề bài yêu cầu định dạng về theo dạng fx-f0x-x0 .
Tại điểm x0 tính đạo hàm của f(x). Từ đây, áp dụng định nghĩa của đạo hàm sẽ suy ra được kết quả giới hạn cần tìm.
Dạng 5: Tính các tổng có chứa tổ hợp
Phương pháp giải:
Với các bài toán khi phải dùng nhị thức Newton để tính các tổng có chứa công thức tổ hợp đôi, để tính được kết quả tổng có chứa tổ hợp cần tính, bạn có thể áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số các cấp của các vế để tính.
Kết luận
Trên đây là những kiến thức tổng hợp bạn cần ghi nhớ về tính đạo hàm của hàm số. Hy vọng qua bài viết này, Cmath sẽ giúp các bạn ôn lại các kiến thức về đạo hàm để bạn có thể tự tin làm bài và áp dụng nó thật nhuần nhuyễn trong các dạng bài khác nhau và là hành trang đầy đủ khi bước vào kỳ thi quan trọng.
>>> Có thể bạn quan tâm:
Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số đơn giản, dễ hiểu
Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2
Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa
THÔNG TIN LIÊN HỆ
- CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
- Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
- Hotline: 0973872184 – 0834570092
- Email: clbcmath@gmail.com
- FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
- Website: cmath.vn
