Phương trình – Tổng hợp các kiến thức hay nhất

05/09/2022 - 01:58 AM - 84 Lượt xem

Bài viết hôm nay, Cmath sẽ tổng hợp cho các em những kiến thức cơ bản nhất liên quan đến các loại phương trình. Đây là phần lý thuyết khá quan trọng trong chương trình Toán học bậc THCS. Hãy chú ý và cùng tìm hiểu những kiến thức thú vị ngay thôi nào!

Tóm tắt lý thuyết cơ bản về phương trình

Phương trình một ẩn

Phương trình với ẩn x là một hệ thức có dạng A(x) = B(x), trong đó, biểu thức A(x) gọi là vế trái, biểu thức B(x) gọi là vế phải.

Nghiệm (hay nghiệm đúng) của phương trình là giá trị của ẩn x thỏa mãn phương trình.

Chú ý: 

  • Hệ thức x = m (với m là một số bất kỳ) cũng là một phương trình. Phương trình này đã chỉ rõ m là nghiệm duy nhất của nó.
  • Một phương trình có thể có số nghiệm là một, hai, ba,… nhưng cũng có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào. Phương trình không có nghiệm nào ta gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 1: 

3x + 2 = 2x là phương trình với với ẩn x.

2y – 1 = 4(1 – y) + 3 là phương trình với ẩn y.

Ví dụ 2: 

Phương trình x2 = 1 có hai nghiệm lần lượt là x = 1 và x = -1.

Phương trình x2 = -1 không có nghiệm.

Giải phương trình

Giải phương trình là ta đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó. Tập hợp các nghiệm của phương trình được kí hiệu là S.

Ví dụ 3:

Phương trình x = 3 có tập nghiệm là S = {3}.

Tập nghiệm của phương trình vô nghiệm là S = {∅}.

Phương trình tương đương

  • Hai phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.
  • Kí hiệu ⇔ đọc là tương đương.

Ví dụ 4:

x + 3 = 0 ⇔ x = -3.

x – 1 = 3 ⇔ x = 4.

Tóm tắt lý thuyết cơ bản về phương trình

Tóm tắt lý thuyết cơ bản về phương trình

Phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa:

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho trước và a ≠ 0, ta gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 1:

Phương trình 2x – 3 = 0 là phương trình bậc nhất với ẩn x.

Phương trình y – 4 = 2 là phương trình bậc nhất với ẩn y.

Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế bên này sang vế bên kia đồng thời đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ 2: Giải phương trình x + 3 = 0

Lời giải:

Ta có: x + 3 = 0

Chuyển hạng tử +3 từ vế trái sang vế phải ta được:

⇔ x = -3 .

Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể nhân đồng thời cả hai vế với cùng một số khác 0.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

x/2 = -2

Lời giải:

Ta có: x/2 = -2

Nhân cả hai vế của phương trình trên với số 2 ta được:

⇔2.x/2 = -2.2

⇔ x = -4.

Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

  • Bước 1: Chuyển vế ax = -b.
  • Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho a ta được: x = -b/a.
  • Bước 3: Kết luận tập nghiệm của phương trình: S = {-b/a}.

Ta có thể trình bày một cách ngắn gọn như sau:

ax + b = 0 ⇔ ã = -b ⇔ x = -b/a.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-b/a}.

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau đây:

a) 2x – 3 = 3

b) x – 7 = 4

Lời giải:

a) 2x – 3 = 3

Ta có: 2x – 3 = 3 ⇔ 2x = 3+ 3 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là: S = {3}.

b) x – 7 = 4

Ta có: x – 7 = 4 ⇔ x = 4 + 7 ⇔ x = 11

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là: S = {11}.

Phương trình đưa về dạng ax + b = 0 là gì?

Để giải các phương trình đưa được về ax + b = 0, ta thường biến đổi phương trình như sau:

  • Bước 1: Quy đồng mẫu số cả hai vế và tiến hành khử mẫu (nếu có).
  • Bước 2: Thực hiện các phép tính toán để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax = c.
  • Bước 3: Tìm x.

Chú ý: Quá trình biến đổi phương trình đã cho về dạng ax = c có thể dẫn đến một trường hợp đặc biệt đó chính là hệ số của ẩn bằng 0 nếu:

  • 0x = c thì phương trình không có nghiệm. Khi đó, tập nghiệm của phương trình đã cho S = {∅}.
  • 0x = 0 thì phương trình có vô số nghiệm S = R hay nghiệm đúng với mọi x.

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x – (3 – 2x) = 3x + 1

Lời giải:

Ta có: 2x – (3 – 2x) = 3x + 1

⇔ 2x – 3 + 2x = 3x + 1

⇔ 4x – 3x = 1 + 3

⇔ x = 4

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là: S = {4}.

Ví dụ 2: Giải phương trình (x – 2)/3 – (x – 2)/4 + (x – 2)/5 = 0

Lời giải:

Ta có: (x – 2)/3 – (x – 2)/4 + (x – 2)/5 = 0

⇔ (x – 2)(1/3 – 1/4 + 1/5) = 0

⇔ (x – 2).17/60 = 0

⇔ x – 2 = 0

⇔ x = 2

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là: S = {2}.

Phương trình đưa về dạng ax + b = 0

Phương trình đưa về dạng ax + b = 0

Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0.

Cách giải của loại phương trình này như sau:

A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

Các bước giải cụ thể

  • Bước 1: Đưa phương trình đã cho ban đầu về dạng tổng quát A(x).B(x) = 0 bằng cách:
    • Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình sang vế trái. Khi đó, vế phải bằng 0.
    • Phân tích đa thức ở vế phải về thành dạng nhân tử.
  • Bước 2: Giải phương trình và đưa ra kết luận.

Ví dụ 1: Giải phương trình (x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)

Lời giải:

Ta có: (x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)

⇔ x2 + 5x + 4 = 4 – x2

⇔ 2x2 + 5x = 0

⇔ x(2x + 5) = 0

⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -5/2.

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là S = {-5/2; 0}

Ví dụ 2: Giải phương trình sau đây:

x3 – x2 = 1 – x

Lời giải:

Ta có: x3 – x2 = 1 – x

⇔ x2(x – 1) = -(x – 1)

⇔ x2(x – 1) + (x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x2 + 1) = 0

⇔ x – 1 = 0 (1) hoặc x2 + 1 = 0 (2)

(1) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

(2) x2 + 1 = 0 (phương trình này vô nghiệm vì x2 + 1 ≥ 1)

Vậy phương trình ban đầu có tập hợp nghiệm là S = {1}.

Phương trình tích

Phương trình tích

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Tìm điều kiện xác định của một phương trình

Điều kiện xác định của một phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu có trong phương trình đều khác 0.

Điều kiện xác định của phương trình được viết tắt là ĐKXĐ.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình dưới đây:

(x – 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x – 2)

Lời giải:

Ta thấy x + 2 ≠ 0 khi x ≠ -2 và x – 2 ≠ 0 khi x ≠ 2.

Do đó: ĐKXĐ của phương trình (x – 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x – 2) là x ≠ ±2.

Các bước giải phương trình có ẩn ở mẫu cụ thể:

  • Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình ban đầu.
  • Bước 2: Quy đồng mẫu số cả hai vế rồi tiến hành khử mẫu.
  • Bước 3: Giải phương trình vừa mới tìm được.
  • Bước 4: Đưa ra kết luận.

Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn số thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình đã cho.

Ví dụ 2: Giải phương trình (x + 2)/x = (2x + 3)/[2(x – 2)]

Lời giải:

Bước 1: Điều kiện xác định của phương trình trên là: x ≠ 0; x ≠ 2.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi tiến hành khử mẫu ta được:

Ta có: (x + 2)/x = (2x + 3)/[2(x – 2)]

⇔ [2(x + 2)(x – 2)]/[2x(x – 2)] = [x(2x + 3)]/[2x(x – 2)]

=> 2(x – 2)(x + 2) = x(2x + 3)

Bước 3: Giải phương trình

Ta có:

2(x – 2)(x + 2) = x(2x + 3) ⇔ 2(x2 – 4) = 2x2 + 3x

⇔ 2x2 – 8 = 2x2 + 3x

⇔ 3x = -8

⇔ x = -8/3.

Bước 4: Kết luận

So sánh với ĐKXĐ, ta thấy x = -8/3 là giá trị thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {-8/3}.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Tham khảo thêm:

Làm quen với thu thập và phân loại dữ liệu – Toán 7

Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác

Toán 7 – Đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch

Tạm kết

Bài viết trên đã mang đến cho các em cái nhìn cụ thể nhất về phương trình. Hy vọng các em hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức trong bài và có thể áp dụng làm các bài tập liên quan. Chúc các em luôn học tốt và hãy đón chờ những bài viết mới, đầy thú vị của Cmath nhé!