Nhân đơn thức với đa thức là dạng bài tập cơ bản mà các em cần nắm rõ nếu muốn chinh phục môn toán. Bài viết dưới đây sẽ giúp các em củng cố những kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết nhân đơn thức với đa thức và vận dụng giải một số bài tập liên quan. Cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây của Cmath nhé!
Nhân đơn thức với đa thức là gì?
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc cũng có thể là phép nhân giữa các số và các biến.
Đa thức là phép cộng giữa những đơn thức.
Muốn thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, ta lấy đơn thức nhân với từng hạng tử của đa thức sau đó cộng các tích vừa thu được lại với nhau.
A (B + C) = AB + AC.
A(B + C – D) = AB + AC – AD.
Ví dụ: x(x^2 + 2) = x^3 + 2x.
Nhân đơn thức với đa thức
Các mẹo làm bài tập nhân đơn thức với đa thức hiệu quả
Bên cạnh việc nắm rõ quy tắc phép nhân đơn thức với đa thức, các em có thể tham khảo một số mẹo làm bài tập sau đây để làm dạng bài tập này một cách hiệu quả nhất.
Áp dụng linh hoạt các công thức lũy thừa
Các bạn cần nhớ một số công thức lũy thừa sau để vận dụng giải các dạng bài tập nhân đơn thức với đa thức.
- a^n = a.a.a.a…a ( với a thuộc Q và n thuộc N*)
- a^0 = 1 (a khác 0)
- a^n . a^m = a^(n + m)
- a^n : a^m = a^(n – m) ( n > m)
- (a^m)^n = a^(m.n)
Bậc của đơn thức thu gọn
Bậc của đơn thức có hệ số khác không được tính bằng tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức.
Các số thực khác 0 được coi là những đơn thức có bậc bằng không.
Số 0 được coi là một đơn thức không có bậc.
Một số công thức rút gọn của nhân đa thức với đơn thức
Một số bài tập vận dụng
Về cơ bản dạng bài tập nhân đơn thức với đa thức được chia làm các dạng sau: rút gọn đa thức hay thực hiện phép tính, tính giá trị của biểu thức đã cho và tìm giá trị của x.
Rút gọn biểu thức hay thực hiện phép tính
Phương pháp: Với dạng bài này, ta chỉ cần áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức là có thể dễ dàng giải được.
Bài 1. Thu gọn các biểu thức dưới đây
a) A = x(x^2 – y) – x^2(x + y) + y(x^2 – x)
b) B = x(x – y) + y(x + y)
Lời giải:
a) A = x(x^2 – y) – x^2(x + y) + y(x^2 – x)
= x.x^2 – x.y – x^2.x – x^2.y + y.x^2 – y.x
= x^3 -xy – x^3 – x^2.y + x^2.y – xy
= -2xy
b) B = x(x – y) + y(x + y)
= x^2 – x.y + x.y + y^2
= x^2 + y^2
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a) x(x^2 + 1) – (3x – 2x^2).3x
b) (xy^2)(x – xy) – x(x + y) + yx(2x^2 – 2xy^2)
c) -x(2x + 2)(x^2 – x + 1)
Lời giải:
a) x(x^2 + 1) – (3x – 2x^2).3x
= x.x^2 + x – 3x.3x + 2x^2.3x
= x^3 + x – 3x^2 + 6x^3
= 7x^3 – 3x^2 + x
b) (xy^2)(x – xy) – x(x + y) + yx(2x^2 – 2xy^2)
= xy^2.x – xy^2.xy – x.x – xy + xy.2x^2 – xy.2xy^2
= x^2.y^2 – x^2.y^3 – x^2 – xy + 2x^3.y – 2x^2.y^3
= x^2.y^2 – 3x^2.y^3 – x^2 -xy + 2x^3.y
c) -x(2x + 2)(x^2 – x + 1)
= (-2x^2 – 2x)(x^2 – x + 1)
= -2x^2.x^2 + 2x^2.x – 2x^2 – 2x.x^2 + 2x.x – 2x
= -2x^4 + 2x^3 – 2x^2 – 2x^3 + 2x^2 – 2x
= -2x^4 – 2x
Tính giá trị của biểu thức
Phương pháp: Để giải dạng bài tập tính giá trị biểu thức này, ta chỉ cần áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để đưa biểu thức đã cho về dạng rút gọn. Sau đó thay các giá trị đề bài cho vào biểu thức và thực hiện tính toán.
Bài 3. Với các giá trị của biến đã cho, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = x(x^2 – y) – x^2(x + y) + y(x^2 – x) tại x = 6, y = 5.
b) B = x(x – y) + y(x + y) tại x = 1, y = -2
Lời giải:
Ta có:
a) A = x(x^2 – y) – x^2(x + y) + y(x^2 – x)
= x. x^2 – x.y – x^2.x – x^2.y + x^2.y – x.y
= x^3 – x.y – x^3 – x^2.y + x^2.y – x.y
= -2xy
Thay x = 6, y = 5 vào biểu thức A = -2xy ta có:
A = -2.6.5 = -60.
b) B = x(x – y) + y(x + y)
= x.x – x.y + x.y + y.y
= x^2 – xy + xy + y^2
= x^2 + y^2
Thay x = 1, y = -2 vào biểu thức B = x^2 + y^2, ta có:
B = 1^2 + (-2)^2
= 1 + 4
= 5.
Bài 4. Tại các giá trị của biến đã cho, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = x^6 – 2021x^5 + 2021x^4 – 2021x^3 + 2021x^2 – 2021x + 2021 tại x = 2020.
b) B = x^10 + 20x^9 + 20x^8 + … + 20x^2 + 20x + 20 với x = -19.
Lời giải:
a) A = x^6 – 2021x^5 + 2021x^4 – 2021x^3 + 2021x^2 – 2021x + 2021 tại x = 2020.
Vì x = 2020 nên suy ra: 2021 = x + 1
Ta thay 2021 = x + 1 vào biểu thức đã cho ta được:
A = x^6 – (x + 1)x^5 + (x + 1)x^4 – (x + 1)x^3 + (x + 1)x^2 – (x + 1)x + x + 1
= x^6 – x^6 – x^5 + x^5 + x^4 – x^4 – x^3 + x^3 + x^2 – x^2 – x +x + 1
= 1
b) B = x^10 + 20x^9 + 20x^8 + … + 20x^2 + 20x + 20 với x = -19.
Với x = -19 nên ta thay 20 = -x + 1 vào biểu thức B ta có:
B = x^10 + 20x^9 + 20x^8 + … + 20x^2 + 20x + 20
= x^10 + (-x + 1)x^9 + (-x + 1)x^8 + … + (-x + 1)x^2 + (-x + 1)x + (-x + 1)
= x^10 – x^10 + x^9 – x^9 + x^8 + … + x^2 – x^2 + x – x + 1
= 1
Bài tập vận dung nhân đa thức với đơn thức
Tìm x
Phương pháp: Ta sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức để biến đổi biến x đưa về dạng đơn giản nhất.
Bài 5. Tìm x biết: 36x^2 – 12x – 9x(4x – 3) = 30.
Lời giải:
Ta có:
36x^2 – 12x – 9x(4x – 3) = 30
36x^2 – 12x – 36x^2 + 27x = 30
15x = 30
x =2
Vậy x = 2.
Bài 6. x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15. Tìm x?
Lời giải:
Ta có
x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15
5x – 2x^2 + 2x^2 – 2x = 15
3x = 15
x = 5
Vậy x = 5.
Bài 7. Tìm x biết
a) -2x(x + 3) + x(2x + 1) = 10
b) (1 – 2x)(x + 3) + (x + 1)(2x – 1) = 14
c) (3x^2 + x + 2) – (2x + 1)(2 + x) – (x + 4)(x – 5) = 5
Lời giải:
a) -2x(x + 3) + x(2x + 1) = 10
Ta có: -2x(x + 3) + x(2x + 1) = 10
-2x^2 – 6x + 2x^2 + x = 10
-5x = 10
x = 2
Vậy x = 2
b) (1 – 2x)(x + 3) + (x + 1)(2x – 1) = 14
x + 3 – 2x^2 – 6x + 2x^2 – x + 2x -1 = 14
-4x + 2 = 14
-4x = 12
x = -3
Vậy x = -3.
c) (3x^2 + x + 2) – (2x + 1)(2 + x) – (x + 4)(x – 5) = 5
(3x^2 + x + 2) – (4x + 2x^2 + 2 + x) – (x^2 – 5x + 4x – 20) = 5
(3x^2 + x + 2) – (2x^2 + 5x + 2) – (x^2 – x – 20) = 5
3x^2 + x + 2 – 2x^2 – 5x – 2 – x^2 + x + 20 = 5
-3x + 20 = 5
-3x = -15
x = 5
Vậy x = 5.
Tham khảo thêm:
- [Tổng hợp] Các cách phân tích đa thức thành nhân tử
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
- Chia đa thức cho đa thức – Toán lớp 8
Tạm kết
Dạng bài tập nhân đơn thức với đa thức không quá khó, chỉ các em nắm chắc kiến thức và tập trung làm bài. Hy vọng bài viết trên đây sẽ giúp các em học tốt môn Toán. Chúc các em luôn học tốt và thường xuyên theo dõi những bài viết mới của Cmath nhé.
