Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

07/07/2022 - 02:18 AM - 84 Lượt xem

Trong các bài trước các em đã được học về phân thức đại số cũng như các tính chất của nó. Bài viết hôm nay sẽ đề cập đến một dạng bài tập hết sức cơ bản liên quan đến lý thuyết này. Đó chính là bài toán quy đồng mẫu thức nhiều phân thức. Hãy cùng Cmath tìm hiểu ngay bây giờ nhé!

Các tính chất quan trọng của phân thức

Để có thể làm tốt các dạng bài tập về quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, các em cần phải nằm lòng các tính chất cơ bản của phân thức. Các bài toán cơ bản lẫn nâng cao liên quan đến phân thức đều áp dụng những tính chất quan trọng này.

Xét phân thức A/B và hai đa thức M, N với điều kiện hai đa thức M và N khác 0. Ta có các tính chất sau:

  • A/B = (A.M) / (B.M)
  • A/B = (A:N) / (B:N)

Một số quy tắc khi tiến hành đổi dấu phân thức:

  • Đổi dấu của cả phân thức và tử thức của phân thức đó: AB = -(-A/B)
  • Đổi dấu của cả phân thức đại số và mẫu thức của phân thức đó: A/B = -(A/-B)
  • Đổi dấu nguyên mẫu: A/(-B) = -(A/B)

Các dạng bài tập quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Dạng bài quy đồng phân thức được coi là dạng bài cơ bản nhưng cần khả năng phân tích, biến đổi phân thức tốt để có thể tìm ra cách giải nhanh và đúng  nhất. Nguyên tắc chung để áp dụng giải dạng bài tập này là tìm cách biến đổi những phân thức phức tạp ban đầu thành những phân thức có mẫu thức chung. Sau đó tính toán, rút gọn bằng cách thêm bớt, cộng trừ nhân chia. 

 

Tìm mẫu thức chung

Bước đầu tiên khi làm các bài tập quy đồng mẫu thức các phân thức chính là thao tác đi tìm mẫu thức chung. Các bước để xác định được mẫu thức chung của các phân thức:

  • Phân tích, biến đổi mẫu thức của các phân thức đã cho về thành các nhân tử.
  • Tìm nhân tử chung bằng số bằng cách lấy tích của các nhân tử bằng số của phân thức đã phân tích trước đó.
  • Trong trường hợp các nhân tử bằng số ở mẫu thức là các số nguyên không âm thì ta tìm nhân tử bằng số bằng cách tìm bội chung nhỏ nhất của mẫu thức.
  • Cơ số của lũy thừa trong các mẫu thức sẽ bằng lũy thừa có số mũ cao nhất trong phân thức.

Ví dụ 1: Tìm mẫu thức chung của hai thức 1/(2×2 – 4x + 2) và 2/(3x – 3)

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi, phân tích các đa thức ở mẫu thành các nhân tử:

2×2 – 4x + 2 = 2(x2 – 2x + 1) = 2(x – 1)2

3x – 3 = 3(x – 1)

Bước 2: Mẫu thức chung của hai phân thức bằng 6(x – 1)2

Bước 3: Xác định mẫu thức chung nhỏ nhất của nguyên là bội chung nhỏ nhất (2,3) = 6

Quy đồng mẫu thức

Sau khi tìm được nhân tử chung, chúng ta sẽ tiến hành các bước quy đồng phân thức:

  • Biến đổi, phân tích các đa thức ở mẫu thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung của chúng theo hướng dẫn bên trên.
  • Xác định nhân tử phụ của mỗi mẫu thức đã cho bằng cách lấy mẫu thức chung vừa tìm được chia cho từng mẫu thức.
  • Nhân đồng thời cả tử và mẫu của các phân thức đã cho với nhân tử phụ vừa tìm được.

Ví dụ 2: Quy đồng mẫu thức của hai phân thức 1/(2×2 – 4x + 2) và 2/(3x – 3).

Ở ví dụ 1, chúng ta đã tiến hành phân tích các mẫu thức thành nhân tử và xác định được mẫu thức chung là:

6(x – 1)2

Bước tiếp theo chính là tìm nhân tử phụ của hai mẫu thức 2×2 – 4x + 2 và 3x – 3

Vì 6(x – 1)2 = 3.2(x2 – 2x + 1) = 3.(2×2 – 4x + 2) nên 3 chính là nhân tử phụ của mẫu thức  2×2 – 4x + 2 

 Vì 6(x – 1)2 = 2(x – 1).3(x – 1) nên 2(x – 1) là nhân tử phụ của mẫu thức 3x – 3

Bài tập vận dụng

Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức: 1/(x^3 + 1); 2/(3x + 3); x/(2x^2 – 2x + 2)

Lời giải:

Ta có: x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)

3x + 3 = 3(x + 1)

2x^2 – 2x + 2 = 2(x^2 – x + 1) 

BCNN(2;3) = 6 nên các phân thức trên có mẫu thức chung là: 

6(x + 1)(x^2 – x + 1) = 6(x^3 + 1)

Nhân tử phụ của 1/(x^3 + 1) là 6. Suy ra: 1/(x^3 + 1) = 6/6(x^3 + 1)

Nhân tử phụ của 2/(3x + 3) là 2(x^2 – x + 1)

2/(3x + 3) = [2.2(x^2 – x + 1)]/[3(x + 1)(x^2 – x + 1)] = (4x^2 – 4x + 4)/[6(x^3 + 1)]

Nhân tử phụ của x/(2x^2 – 2x + 2) là 3(x + 1)

x/(2x^2 – 2x + 2) = [x.3(x + 1)]/[2(x^2 – x + 1) . 3(x + 1)] = (3x^2 + 3x)/[6(x^3 + 1)]

Vậy ta được 3 phân thức sau khi quy đồng là: 6/6(x^3 + 1); (4x^2 – 4x + 4)/[6(x^3 + 1)]; (3x^2 + 3x)/[6(x^3 + 1)]

Bài 2. Cho hai phân thức 2/(6 x^2.yz); 5/4xy^3

Có thể chọn mẫu thức chung là đa thức nào trong hai đa thức 12x^2.y^3.z hoặc 24x^3.y^4.z? Nếu được thì hãy nhận xét xem mẫu thức chung nào đơn giản hơn?

Lời giải:

Vì 12x^2.y^3.z chia hết cho đa thức 6x^2yz và 4xy^3 nên có thể chọn mẫu thức chung là 12x^2.y^3.z.

Vì 24x^3.y^4.z chia hết cho đa thức 6x^2yz và 4xy^3 nên có thể chọn mẫu thức chung là 24x^3.y^4.z.

Vậy có thể chọn cả hai biểu thức 12x^2.y^3.z và 24x^3.y^4.z làm mẫu thức chung.

Trong đó, mẫu thức chung 12x^2.y^3.z đơn giản hơn.

Bài 3. Quy đồng mẫu thức hai phân thức: 3/(x^2 – 5x)  và 5/(2x – 10)

Lời giải:

Ta có: x^2 – 5x = x(x – 5)

  2x – 10 = 2(x – 5)

Do đó, Mẫu thức chung = 2x(x – 5)

Vì 2x(x – 5) = 2[x(x – 5)] nên ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với 2:

3/(x^2 – 5x) = 3/[x(x – 5)] = 3.2/[2x(x – 5)] = 6/[2x(x – 5)]

Vì 2x(x – 5) = x.2(x – 5) = x(2x – 10) nên x là nhân tử phụ của mẫu thức 2x – 10, nhân đồng thời cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x ta được:

5/(2x – 10) = 5.x/[(2x – 10)x] = 5x/[2x(x – 5)]

Bài 4. Cho hai phân thức: 5x^2/(x^3 – 6x^2) và (3x^2 + 18x)/(x^2 – 36)

Khi quy đồng mẫu thức bạn Tuấn đã chọn MTC = x^2(x – 6)(x + 6), còn bạn Lan bảo rằng: “Quá đơn giản!

MTC =  x – 6”. Đố em biết bạn nào đúng?

Lời giải:

Cả hai bạn làm đều đúng vì:

Bạn Tuấn đã tìm mẫu thức chung theo đúng các quy tắc đã học:

x^3 – 6x^2 = x^2(x – 6);

x^2 – 36 = x^2 – 6^2 = (x – 6)(x + 6)

Khi đó: MTC = x^2(x – 6)(x + 6)

Bạn Lan đã tiến hành rút gọn phân thức về dạng tối giản nhất trước khi đi tìm mẫu thức chung:

5x^2/(x^3 – 6x^2) = 5x^2/[x^2(x – 6)] = 5x – 6

(3x^2 + 18x)/(x^2 – 36) = [3x(x + 6)]/[(x – 6)(x + 6)] = 3x/(x – 6)

Khi đó, MTC = x -6.

Nhận xét: Mẫu thức chung của hai bạn đưa ra đều đúng. Nhưng ta thấy mẫu thức chung của bạn Lan ngắn gọn và dễ quy đồng hơn mẫu thức chung của bạn Tuấn.

Do đó, nếu phân thức chưa ở dạng tối giản thì ta nên đưa các phân thức đã cho về dạng đơn giản nhất trước rồi mới thực hiện quy đồng mẫu các phân thức.

Bài 5. Cho hai phân thức: 1/(x^2 + 3x – 10)x/(x^2 + 7x + 10)

Để chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức: x^3 + 5x^2 – 4x – 20 có thể làm mẫu thúc chung ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Thật vậy, ta có: 

x^3 + 5x^2 – 4x – 20 = x^3 + 3x^2 – 10x +2x^2 + 6x – 20

= x(x^2 + 3x – 10) + 2(x^2 + 3x -10)

= (x + 2)(x^2 + 3x – 10)

Suy ra: x^3 + 5x^2 – 4x – 20 chia hết cho (x^2 + 3x – 10)

x^3 + 5x^2 – 4x – 20 = x^3 + 7x^2 + 10x – 2x^2 – 14x – 20

= x(x^2 + 7x +10) – 2.(x^2 + 7x +10)

= (x – 2)(x^2 + 7x +10)

Suy ra, x^3 + 5x^2 – 4x – 20 chia hết cho x^2 + 7x +10

Do đó, có thể chọn mẫu thức chung là x^3 + 5x^2 – 4x – 20

Tham khảo thêm:

Phép cộng các phân thức đại số – Toán lớp 8

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Lý thuyết sự tương giao đồ thị hàm số

Tạm kết

Bài viết trên đây cung cấp cho các em các phương pháp làm bài tập quy đồng mẫu thức nhiều phân thức. Hy vọng các em nắm chắc kiến thức cơ bản để có thể áp dụng làm các bài tập vận dụng. Chúc các em học tốt và thành công trên con đường chinh phục tri thức của mình.