• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Các dạng phương trình tiếp tuyến lớp 12

20/07/2022 - 02:32 PM - 234 Lượt xem

Một trong những kiến thức quan trọng thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPTQG đó chính là các dạng phương trình tiếp tuyến lớp 12. Đây là những dạng bài cơ bản, dễ gỡ điểm. Vậy nên hãy cùng Cmath củng cố và nắm chắc phần bài tập này nhé!

Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số f(x) có đồ thị (C)

Đường thẳng d được coi là tiếp tuyến của đồ thị (C) nếu đường thẳng đó đi qua tiếp điểm M(x0;y0) và có độ dốc là f’(x0) với f’ là đạo hàm của hàm số f(x).

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có dạng: y = k(x – x0) + y0.

Trong đó, k = f’(x0) chính là hệ số góc của tiếp tuyến.

Các dạng phương trình tiếp tuyến lớp 12 thường gặp

Nguyên tắc chung để làm tốt các dạng bài viết phương trình tiếp tuyến là xác định được tiếp điểm và hệ số góc của nó. Trong chương trình lớp 12 có 4 dạng bài viết phương trình tiếp tuyến cơ bản là:

Dạng 1. Cho tiếp điểm, viết phương trình tiếp tuyến

Phương pháp giải truyền thống:

Bước 1: Tìm đạo hàm f’(x). Khi đó, hệ số góc tiếp tuyến k = y’(x0).

Bước 2: Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x0;y0) có phương trình: 

y = y’(x0)(x – x0) + y0

Sử dụng máy tính cầm tay:

Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = kx + m.

Tìm hệ số góc tiếp tuyến k = y’(x0)

Đầu tiên ta tìm hệ số góc của tiếp tuyến k = y’(x0).

Bấm phím CALC với X = x0 rồi bấm dấu “=” ta được giá trị m.

Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực chất là rút gọn các bước của cách làm truyền thống. Sử dụng máy tính giúp ta nhanh chóng tìm được kết quả và hạn chế được sai sót trong tính toán.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = x^3 + 2x^2 tại điểm M(1; 3).

Lời giải: 

Cách giải bằng tay:

Ta có: y’ = 3x^2 + 4x

Suy ra k = y’(1) = 7

Ta được tiếp tuyến có phương trình: y = 7(x – 1) + 3. 

Hay y = 7x – 4.

Giải bằng máy tính:

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(1;3) là y = 7x – 4.

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết phương (hệ số góc)

Phương pháp giải: 

Bước 1: Giả sử tiếp điểm có tọa độ M(x0;y0) và tính đạo hàm f’(x)

Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến là k = f’(x0)

Giải phương trình trên ta tìm được x0, thay x0 vào phương trình hàm số ta tìm được y0

Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng có phương trình tổng quát là: y = y’(x0)(x – x0) + y0

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc dưới các dạng sau:

  • Tiếp tuyến d // đường thẳng: y = ax + b. Suy ra: k = a.

Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì phải kiểm tra lại xem tiếp tuyến vừa tìm được có bị trùng với đường thẳng đã cho hay không. Nếu trùng phải bỏ kết quả đó.

  • Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng: y = ax + b. Suy ra: k.a = -1 Hay k = -1/a.
  • Tiếp tuyến và trục hoành tạo với nhau một góc a thì k = tan a.

Sử dụng máy tính cầm tay:

  • Phương trình cần lập có dạng d: y = kx + m
  • Tìm hoành độ tiếp điểm x0
  • Nhập k(-X) + f(X) hoặc f(X) – kX sau đó bấm CALC với X = x0 rồi bấm “=” ta được kết quả là m.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = x^3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

Lời giải:

Ta có: y’ = 3x^2 – 3. 

Gọi tiếp tuyến cần tìm là M(x0;y0).

Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y’(x0) = 9

Suy ra: 3(x0)^2 – 3 = 9

Suy ra: x0 = 2 hoặc x0 = -2

Cách giải truyền thống:

Với x0 = 2 ta tìm được y0 = 4. Suy ra tọa độ tiếp điểm M(2;4)

Phương trình tiếp tuyến tại M(2;4) là d1: y = 9(x – 2) + 4

Suy ra y = 9x – 14.

Với x0 = -2 ta tìm được y0 = 0. Suy ra tọa độ tiếp điểm là M(-2;0)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm m(-2;0) là d2: y = 9(x + 2)

Suy ra: y = 9x + 18.

Sử dụng máy tính cầm tay:

Với x0 = 2 ta nhập 9(-X) + X^3 – 3X + 2 CALC với X = 2 rồi bấm dấu “=” ta được kết quả là -14

Suy ra: y = 9x – 14.

Với x0 = -2 ta nhập 9(-X) + X^3 – 3X + 2 CALC với X = -2 rồi bấm dấu “=” ta được kết quả là 18

Suy ra: y = 9x + 18.

Phương trình tiếp tuyến và các kiến thức cần nhớ

Phương trình tiếp tuyến và các kiến thức cần nhớ

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm đã cho

Với dạng bài này ta có hai cách làm như sau:

Cách 1:

Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

y = f’(x0)(x – x0) + y0

Vì tiếp tuyến đi qua A(a,b) nên thay tọa độ A vào phương trình trên ta có:

b = f’(x0)(a – x0) + f(x0)

Phương trình này chỉ chứa ẩn x0, do đó ta chỉ cần giải phương trình trên để tìm x0.

Từ đó ta dễ dàng tìm được f’(x0) và y0

Thay vào phương trình ban đầu ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2:

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(a;b) và có hệ số góc k có dạng d: 

y = k(x – a) + b (*)

Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình:có nghiệm

Bước 3: Giải hệ phương trình trên tìm được x và k. Thế vào phương trình (*) ta tìm được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4x^3 + 3x + 1 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2)

Lời giải:

Ta có: y’ = -12x^2 + 3 (*)

Tiếp tuyến đi qua A(-1;2) có hệ số góc k có phương trình là d: y = k(x + 1) + 2.

Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C) là

có nghiệm.

Thế k vào phương trình trên bên ta được:

-4x^3 + 3x + 1= (-12x^2 + 3)(x + 1) + 2

8x^3 + 12x^2 – 4 = 0

(x – ½)(x + 1)^2 = 0

Suy ra x = ½ hoặc x = -1

+) Với x = 1. Thế vào phương trình (*) ta được k = -9

Suy ra phương trình tiếp tuyến là: y = -9x – 7.

+) Với x = ½. Thế vào phương trình (*) ta được k = 0.

Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = 2.

Vậy đồ thị (C) có hai tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2) là y = -9x – 7 và y = 2.

Giải mã toán học 12 hay

Giải mã toán học 12 hay

Nhận xét:

Đối với các dạng bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm, việc tính toán tương đối mất thời gian và dễ dẫn đến những sai lầm đáng có. Do đó, ta hoàn toàn có thể sử dụng máy tính cầm tay để thử và loại bỏ các đáp án như sau:

  • Cho f(x) bằng kết quả các đáp án, từ đó ta thu được các phương trình.
  • Sử dụng chức năng giải phương trình bậc ba của máy tính bỏ túi bằng cách nhấn tổ hợp phím MODE 5 4 và nhập hệ số phương trình.

Áp dụng với ví dụ trên: Giả sử đề bài cho 4 đáp án:

A. y = -9x + 7; y = -x + 2.                      B. y = -9x – 11; y = -x + 2.

C. y = -9x + 11; y = 2.                            D. y = -9x – 7; y = 2.

  • Thử với đáp án A, ta cho: -4x^3 + 3x + 1 = -9x + 7. Suy ra: -4x^3 + 12x – 6 = 0

Máy tính cho 3 nghiệm nên suy ra ta loại đáp án A.

  • Thử với đáp án B, ta cho -4x^3 + 3x + 1 = -x + 2. Suy ra: -4x^3 + 4x – 1 = 0

Máy tính cho 3 nghiệm nên suy ra ta loại đáp án B.

  • Thử với đáp án C, cho -4x^3 + 3x + 1 = -9x + 11. Suy ra: -4x^3 + 12x – 10 = 0.

Máy tính hiển thị 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức nên ta loại đáp án C.

  • Vậy chỉ còn lại đáp án D thỏa mãn.

Dạng 4. Một số bài toán chứa tham số

Ví dụ: Cho đồ thị hàm số (C): y = x^3 – 3x^2. Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng y = (m^2 – 4)x + 2m – 1.

Lời giải:

Ta có: y’ = 3x^2 – 6x

Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên ta có: y0 = (x0)^3 – 3(x0)^2 = 1^3 – 3.1^2 = -2

Vậy M(1;-2)

Phương trình tiếp tuyến tại M(1;-2) của (C) có dạng:

y – y0 = y’(x0).(x – x0)

Suy ra: y + 2 = (3.1^2 – 6.1)(x – 1)

Suy ra: y = -3x +1.

Khi đó để (d) song song đường thẳng đã cho thì m^2 – 4 = -3

Suy ra: m = -1. 

Tính liên kết giữa các chủ đề trong toán học 12

Tính liên kết giữa các chủ đề trong toán học 12

Bài tập vận dụng về phương trình tiếp tuyến

Bài 1. Tiếp tuyến của đồ thị (C): y = (2x – 1)/(x + 1) tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình là:

A. y = ¾.x + ¼                  B. y = ¾.x – ¼.                     C. y = -¾.x + ¼.                            D. -¾.x – ¼.

Bài 2. Tiếp tuyến của (C): y = x^4 – 2x^2 tại điểm có hoành độ bằng -2 có phương trình là:

A. -24x – 40.                    B. y = -24x + 40.                 C. y = 24x – 40                            D. 24x + 40.

Bài 3. Tiếp tuyến của (C): y = 2x^3 + 3x^2 – 1 tại điểm có tung độ bằng 4 có phương trình là:

A. -12x – 8.                        B. -12x + 8.                         C. y = 12x – 8.                               D. y = 12x + 8.

Bài 4. Cho hàm số y = x^3 – 3x^2 – x + 1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ dương và là nghiệm của phương trình y’ + x.y’’ – 11= 0 có phương trình là:

A. y = -x – 3.                     B. -4x + 2.                           C. y = -x + 2.                                D. y = -4x – 3.

Bài 5. Cho đồ thị (C) hàm số có phương trình: y = -x^3 + 3x – 2. Số phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng x + y + 2 = 0 là:

A. 1.                                  B. 2.                                     C. 3.                                             D. 4.

Tham khảo thêm:

Tạm kết

Bài viết trên đây đã giúp các em củng cố lại kiến thức về các dạng phương trình tiếp tuyến lớp 12. Đây là phần bài tập cơ bản và khá quan trọng. Hy vọng các em có thể nắm chắc và áp dụng làm thành thạo các bài tập. Chúc các em thành công trên con đường chinh phục tri thức của mình.