Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số là bài tập thường xuyên xuất hiện trong các đề thi khảo sát cũng như tuyển sinh. Bài viết dưới đây Cmath sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ nhất về bài toán này.
Lý thuyết giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Để làm tốt các dạng bài tập tìm GTLN, GTNN của hàm số, các bạn phải nắm chắc kiến thức sau:
Khái niệm về GTLN, GTNN
Cho hàm số P = P(x) và các số thực M, m. Khi đó:
M được gọi là GTLN của P nếu: P(x) ≤ M, ∀x và tồn tại P(x0) = M
Ký hiệu: Pmax= M
m được gọi là GTNN của P nếu: P(x) ≥ m, ∀x và tồn tại P(x0) = m
Ký hiệu: Pmin = m
Hàm số hay đa thức bậc 2
P(x) = f(x)= ax2+bx+c (a ≠ 0) (1)
Hàm số (1) là hàm số bậc 2 có đồ thị hàm số là Parabol (P) như hình dưới đây:
Đồ thị trên cho ta thấy, GTLN và GTNN của hàm bậc 2 sẽ phụ thuộc vào hệ số a.
Nếu a < 0: hàm số đạt GTLN tại đỉnh của Parabol (P).
Nếu a > 0: hàm số đạt GTNN tại đỉnh của Parabol (P).
Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số
Có 2 cách chủ yếu để tìm GTLN, GTNN của hàm số, tùy vào đề bài cũng như các giả thiết trong bài mà bạn lựa chọn cách làm cho phù hợp.
Áp dụng lý thuyết về miền giá trị
Giải sử ta phải tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị của f(x) với x ∈ miền giá trị D. Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x)= y có nghiệm (x là biến, coi y là tham số). Ta đưa biểu thức cần xét về dạng : m ≤ y ≤ M. Từ đó, Min f(x) = m với x ∈ D, Max f(x) = M với x ∈ D.
Ví dụ 1: Tìm GTLN của f(x) = x2+4x+5
Gọi y là một giá trị của f(x).
Ta có: y= x2+4x+5
⇔ x2+4x+5-y=0 (có nghiệm)
⇔ Δ’ = 4-5+y ≥0
⇔ y ≥1
Vậy f(x) min = 1 khi và chỉ khi x= -2
Sử dụng phương pháp hình học
Phương pháp này áp dụng với các bài tập mà biểu thức của hàm số ở dạng tổng hoặc hiệu của căn bậc hai của các tam thức. Ta có thể đưa yêu cầu của bài toán đã cho về xét độ dài của các đoạn thẳng. Thông qua việc chọn các điểm có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng đó.
Nếu A(x1,y1); B(x2,y2) suy ra:
Với ba điểm M, A, B bất kỳ ta có:
|MA – MB| ≤ AB ≤ MA + MB
Ví dụ 2: Cho 
Tìm giá trị lớn nhất của f(x).
Ta có: 
Trong mặt phẳng tọa độ, lấy 3 điểm: A(2,1); B(5,5); M(x,0)
Ta có: 
Mặt khác ta có: MA-MB ≤ AB
hay 
Vậy GTLN của f(x) = 5 xảy ra khi 3 điểm M, A, B nằm trên một đường thẳng.
Ta lại có phương trình của đường thẳng qua qua A và B là: d = 4/3x – 5/3, d cắt Ox tại M(5/4;0). Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 đạt tại x = 5/4.
Ví dụ 3: Cho f(x) =
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)
Lời giải:
Ta có:
Chọn A(4,-2); B(x,2x); C(0,10)
Ta có: AB +BC ≥ AC
Ta lại có: 
Chọn D(x,8); E(0,2x); F(x-4,0)
Ta có: DE + EF ≥ DF 
Từ (2) và (3) ta có: 
khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng, D, E, F thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng đi qua AB nhận C(0,10) là nghiệm
Phương trình đường thẳng đi qua DE nhận F(x-4;0) là nghiệm
Giải hệ điều kiện ta có: x = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của 
tại x=2.
Các dạng bài tập tìm GTLN, GTNN của hàm số
Các dạng bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số phổ biến, thường gặp trong các đề thi là:
Phương trình hàm số có dạng tam thức bậc 2
Cho hàm số/đa thức P(x) = ax2+bx+c (a ≠ 0)
Đưa P(x) về dạng: a(x – h)2+k (a ≠ 0)
Ta xét hệ số a:
Nếu a > 0: thì P(x) đạt GTNN và GTLN của P là: Pmin = k khi x = -b2a
Nếu a < 0: thì P(x) đạt GTNN và GTLN của P là: Pmax = k khi x = -b2a
Ví dụ 4: Với x là số nguyên không âm, tìm giá trị nhỏ nhất hàm số P(x) = (x + 2)2 – 5.
Lời giải:
Vì (x + 2)2 ≥ 0 nên (x + 2)2 – 5 ≥ – 5 ⇔ P(x) ≥ – 5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)2 = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2
Kết luận GTNN của P(x) = -5 khi x = -2.
Ví dụ 5: Tìm GTNN của hàm số P(x) = 2x2– 6x
Lời giải:
Ta có: P(x) = 2x2– 6x = 2(x2– 3x) = 2(x2-2.32x+94)-94
= 2(x-32)2–92
Vì (x-32)2 ≥ 0 nên 2(x-32)2–92 ≥ –92
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x-32= 0
Vậy GTNN của P(x) bằng –92 đạt được khi x = 32
Phương trình hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Đối với dạng bài tập này ta có 2 cách làm như sau:
Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức của hàm số đã cho về dạng P(x) ≥ a (với a là số đã biết). Suy ra giá trị nhỏ nhất của P(x) là a. Hoặc biến đổi về dạng P(x) ≤ b (với b là số đã biết). Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của P(x) là b.
Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai tham số là biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:
∀x, y ∈ Q, ta có:
- |x + y| ≤ |x| + |y| Dấu “=” xảy ra khi x.y ≥ 0
- |x – y| ≤ |x| – |y|
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: P(x) = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10
Lời giải:
Đặt y = |2x – 1| ⇒ y2 = (2x – 1)2
Ta có: P(x) = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10 = y2– 6y + 10
= y2 -2.3.y + 9 + 1 = (y – 3)2 + 1
Vì (y – 3)2 ≥ 0 ⇒ (y – 3)2+1 ≥ 1.
Pmin = 1 khi chỉ khi (y – 3)2=0 ⇔ y = 3 ⇔ |2x – 1| = 3
⇔ 2x – 1 = 3 hoặc 2x – 1 = -3
⇔ 2x = 4 hoặc 2x = -2
⇔ x = 2 hoặc x = -1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 khi x = 2 hoặc x = -1.
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số P(x) = |x – 1| + |x – 3|
Lời giải:
Lưu ý rằng |-a| = |a|, nên ta có:
P(x) = |x – 1| + |x – 3| = |x – 1| + |3 – x| ≥ | x – 1 + 3 – x| = 2.
Suy ra: P(x) ≥ 2 dấu “=” xảy ra khi chỉ khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0
⇔ x – 1 ≥ 0 và 3 – x ≥ 0 hoặc x – 1 ≤ 0 và 3 – x ≤ 0
⇔ (x ≥ 1 và 3 ≥ x) hoặc (x ≤ 1 và 3 ≤ x)
⇔ 1 ≤ x ≤ 3
Tham khảo thêm:
Hàm số chẵn lẻ là gì? Cách xác định tính chẵn lẻ của hàm số
Cách tìm tập xác định của hàm số chi tiết, dễ hiểu
Lý thuyết đầy đủ nhất về hàm số bậc nhất
Tạm kết
Bài viết trên đã cung cấp một cách chi tiết về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số. Chúc các bạn nắm chắc kiến thức về dạng bài tập này và không còn e ngại mỗi khi gặp chúng!
