Đường trung bình của tam giác là gì? Công thức và bài tập

Trong kiến thức Toán hình lớp 8, các em học sinh sẽ được học về đường trung bình của tam giác. Đây là kiến thức quan trọng bổ trợ cho các dạng bài tập về hình tam giác. Vì vậy qua bài viết dưới đây, Cmath sẽ cùng các em tìm hiểu về định lý, công thức và bài tập về đường trung bình trong tam giác nhé!

Đường trung bình của tam giác là gì?

Đường trung bình của tam giác là một khái niệm quan trọng trong hình học. Đó là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bất kỳ trong một tam giác. Điều đặc biệt của đường trung bình là nó luôn song song với cạnh còn lại của tam giác và có độ dài bằng một nửa cạnh đó.

Khi bạn vẽ một đoạn thẳng nối hai điểm chính giữa của hai cạnh trong một tam giác, thì đoạn thẳng đó sẽ nằm song song và ngắn hơn một nửa so với cạnh còn lại.

Ví dụ: Trong tam giác ABC, nếu M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC thì MN chính là đường trung bình của tam giác ABC. Đoạn MN sẽ song song với BC và MN = 1/2 BC.

Đường trung bình được ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh các tính chất hình học khác, xây dựng các công thức tính diện tích và chu vi của các hình.

Tính chất của đường trung bình trong tam giác

Dưới đây là một vài tính chất của đường trung bình trong tam giác: 

Tính chất đường trung bình của tam giác thường

Nhờ các tính chất này, chúng ta có thể dễ dàng tìm ra độ dài của các đoạn thẳng, chứng minh các tam giác đồng dạng, hay tính diện tích hình phẳng. Bên cạnh đó, tính chất đường trung bình của tam giác cũng giúp vẽ hình chính xác hơn. 

Tính chất đường trung bình trong tam giác vuông

Đường trung bình trong tam giác vuông là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh góc vuông. Tính chất của đường trung bình trong tam giác vuông như sau: 

• Song song và bằng một nửa cạnh huyền: Đường trung bình của tam giác vuông luôn song song với cạnh huyền và có độ dài bằng một nửa độ dài của cạnh huyền. Ví dụ, nếu DE là đường trung bình của tam giác vuông ABC (với D là trung điểm AB, E là trung điểm AC) thì DE // BC và DE = 1/2 BC.
• Vuông góc với nhau: Hai đường trung bình trong một tam giác vuông sẽ vuông góc với nhau. Điều này tạo thành một hình chữ nhật đặc biệt bên trong tam giác vuông.

Dạng bài tập phổ biến về đường trung bình của tam giác

Dưới đây là một số dạng bài tập liên quan đến đường trung bình trong tam giác: 

Dạng 1: Tính toán liên quan đến cạnh và góc

Bài tập này sẽ yêu cầu tìm độ dài cạnh, số đo góc hoặc chứng minh các hệ thức liên quan đến các yếu tố của tam giác. Để giải quyết dạng toán này các em học sinh có thể áp dụng theo các bước sau: 

• Bước 1: Xác định đường trung bình trong hình.
• Bước 2: Áp dụng tính chất đường trung bình:
  • Đường trung bình song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.
  • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
• Bước 3: Kết hợp với các kiến thức khác về góc, cạnh trong tam giác (ví dụ: tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ, định lý Pytago,…) để giải quyết bài toán.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Biết BC = 10cm. Tính độ dài MN.

Lời giải: 

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC và MN = 1/2 BC.

Vậy MN = 1/2 * 10cm = 5cm.

Dạng 2: Chứng minh một đường thẳng là đường trung bình

Bài toán yêu cầu chứng minh rằng một đoạn thẳng cho trước là đường trung bình của một tam giác. Để làm được dạng bài tập này bạn cần hiểu và áp dụng được trung bình trong tam giác theo các bước sau: 

• Bước 1: Hiểu rõ định nghĩa đường trung bình là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
• Bước 2: Chứng minh đoạn thẳng đó nối hai trung điểm của hai cạnh tam giác.
• Bước 3: Kết luận đoạn thẳng đó là đường trung bình.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh DE // BC và DE = 1/2 BC.

Lời giải: 

DE là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

Theo tính chất đường trung bình, DE // BC và DE = 1/2 BC.

Vậy DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Một số bài tập về đường trung bình của tam giác tự luyện 

Bài 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Biết BC = 12cm. Tính độ dài MN.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài AM và diện tích tam giác ABM.

Bài 3: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh DE // BC và DE = 1/2 BC.

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh MN // AB và MN = 1/2(AB + CD).

Bài 5: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh:

1. a) Tam giác AMB = tam giác EMC.
2. b) AB // CE.   

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D.

1. a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua AB.
2. b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Vì sao?   

Bài 7: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh DE // IK và DE = IK.

Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD), các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại M, N. Chứng minh OM = ON.

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AC.

1. a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình thang cân.
2. b) Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Tứ giác ADMH là hình gì? Vì sao?

Học toán nâng cao về đường trung bình của tam giác tại Câu lạc bộ Cmath

Câu lạc bộ Toán học muôn màu là một trong những địa chỉ học Toán đáng tin cậy được nhiều cha mẹ cho con mình theo học. CLB được thành lập với mong muốn truyền cảm hứng cho các bạn trẻ, giúp các con làm chủ kiến thức, tư duy trong Toán học. Không chỉ giảng dạy môn toán mà Cmath còn giúp trẻ phát huy môn Tiếng việt, Tiếng Anh ở các cấp học khác nhau.

Cmath không chỉ là nơi truyền đạt kiến thức Toán học mà còn là nơi nuôi dưỡng niềm đam mê, phát triển tư duy và giúp học sinh tự tin hơn trong học tập. Với chương trình học được thiết kế khoa học, giáo trình sáng tạo, đội ngũ giáo viên tận tâm và phương pháp đánh giá hiệu quả, Cmath cam kết mang đến cho học sinh những trải nghiệm học tập bổ ích và thú vị.

Xem thêm: 

• Trung tâm dạy thêm toán lớp 8 tốt nhất tại Hà Nội
• Điểm lại kiến thức cần nhớ và bí quyết học Toán tư duy lớp 8 hiệu quả

Trên đây là những thông tin chi tiết về kiến thức đường trung bình của tam giác. Hãy tham gia ngay lớp học Toán tại Cmath để hiểu sâu mọi kiến thức Toán học, vận dụng tư duy, giải bài tập một cách hiệu quả, chính xác nhé!