Bài tập tìm phương trình tiếp tuyến là dạng bài tập thường gặp trong các đề thi khảo sát cũng như tuyển sinh. Hãy cùng Cmath củng cố những kiến thức cơ bản về phương trình tiếp tuyến qua bài viết dưới đây nhé.
Phương trình tiếp tuyến là gì?
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm bất kì là một đường thẳng chỉ tiếp xúc với đồ thị tại điểm đó. Một đường thẳng được coi là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = x0, nếu đường thẳng đó đi qua điểm (x0, f(x0)) thuộc đồ thị và có độ dốc f’(x0) với f’ là đạo hàm của hàm số f(x).
Trong đó:
- Điểm tiếp xúc giữa tiếp tuyến và đồ thị hàm số được gọi là tiếp điểm.
- Mặt phẳng tiếp tuyến là mặt phẳng chỉ tiếp xúc với đường cong tại điểm đó.
- Đạo hàm f’(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Phương pháp cơ bản để xác định phương trình tiếp tuyến chính là tìm được tọa độ tiếp điểm. Có 4 dạng bài viết phương trình tiếp tuyến cơ bản là:
Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0, y0) đã cho
Với dạng bài này, ta chỉ cần tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) là f’(x0).
Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0, y0) có dạng: y = f’(x0)(x – x0) + y0.
Lưu ý:
- Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm y0 bằng cách thế x0 vào phương trình hàm số. y0 = f(x0).
- Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì ta tìm x0 bằng cách thế y0 vào phương trình hàm số y = f(x0).
- Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b. Khi đó hoành độ tiếp điểm sẽ là nghiệm của phương trình: f(x) = ax + b.
- Tiếp điểm nằm trên trục hoành thì x0 = 0; tiếp điểm nằm trên trục tung thì y0 = 0.
Ví dụ: Cho hàm số (C): y = x^3 + 3x^2. Tìm phương trình tiếp tuyến tại M(1;4) của đồ thị hàm số.
Lời giải:
Ta có: y’ = 3x^2 + 6x
Suy ra: Hệ số góc k = f’(1) = 3.1 + 6.1 = 9
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1;4) có phương trình là:
y = f’(x0)(x – x0) + y0
Suy ra: y = 9(x – 1) + 4 = 9x – 5
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = x^3 + 3x^2 là: y = 9x – 5.
Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0, y0) đã cho
Viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước
Cho đồ thị hàm số y = f(x), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm A(a,b)
Phương pháp:
Cách 1:
Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:
y = f’(x0)(x – x0) + y0
Vì tiếp tuyến đi qua A(a,b) nên thay tọa độ A vào phương trình trên ta có:
b = f’(x0)(a – x0) + f(x0)
Phương trình này chỉ chứa ẩn x0, do đó ta chỉ cần giải phương trình trên để tìm x0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được f’(x0) và y0
Thay vào phương trình ban đầu ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cách 2:
Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(a;b) và có hệ số góc k có dạng d:
y = k(x – a) + b (*)
Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Bước 3: Giải hệ phương trình trên tìm được x và k. Thế vào phương trình (*) ta tìm được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4x^3 + 3x + 1 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2)
Lời giải:
Ta có: y’ = -12x^2 + 3 (*)
Tiếp tuyến đi qua A(-1;2) có hệ số góc k có phương trình là d: y = k(x + 1) + 2.
Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C) là hệ phương trình sau có nghiệm:
Thế k vào phương trình trên bên ta được:
-4x^3 + 3x + 1= (-12x^2 + 3)(x + 1) + 2
8x^3 + 12x^2 – 4 = 0
(x – ½)(x + 1)^2 = 0
Suy ra x = ½ hoặc x = -1
+) Với x = 1. Thế vào phương trình (*) ta được k = -9
Suy ra phương trình tiếp tuyến là: y = -9x – 7.
+) Với x = ½. Thế vào phương trình (*) ta được k = 0.
Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = 2.
Vậy đồ thị (C) có hai tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2) là y = -9x – 7 và y = 2.
Viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước
Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k
Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) y = f(x) khi biết hệ số góc k ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
Bước 2: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình f’(x) = k. Từ đây ta tìm được tọa độ điểm M(x0;y0) với y0 = f(x0)
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0;y0) có dạng: y = f’(x0)(x – x0) + y0
Ví dụ: Cho hàm số (C): y = x^3 – 3x + 2. Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C).
Lời giải:
Giả sử tiếp điểm có tọa độ: M(x0;y0).
Ta có: y’ = 3x^2 – 3
Khi đó: y’(x0) = 3(x0)^2 – 3 = 9
Suy ra: x0 = 2 hoặc x0 = -2
Với x0 = 2 ta có: y0 = 2^3 – 3.2 + 2 = 4. Suy ra tiếp điểm M(2;4).
Phương trình tiếp tuyến tại M(2;4) là đường thẳng d1: y = 9(x – 2) + 4 Hay y = 9x – 14
Với x0 = -2 ta có: y0 = (-2)^3 – 3.(-2) + 2 = 0. Suy ra tiếp điểm M(-2;0).
Phương trình tiếp tuyến tại M(-2;0) là đường thẳng d2: y = 9(x + 2) Hay y = 9x + 18
Vậy đồ thị hàm số (C) có hai tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.
Viết phương trình tiếp tuyến dựa vào tham số m
Phương pháp: Dựa vào các yếu tố đầu bài cho để tìm ra tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ: Cho đồ thị hàm số (C): y = x^3 – 3x^2. Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng y = (m^2 – 4)x + 2m – 1.
Lời giải:
Ta có: y’ = 3x^2 – 6x
Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên ta có: y0 = (x0)^3 – 3(x0)^2 = 1^3 – 3.1^2 = -2
Vậy M(1;-2)
Phương trình tiếp tuyến tại M(1;-2) của (C) có dạng:
y – y0 = y’(x0).(x – x0)
Suy ra: y + 2 = (3.1^2 – 6.1)(x – 1)
Suy ra: y = -3x +1.
Khi đó để (d) song song với đường thẳng đã cho thì m^2 – 4 = -3
Suy ra: m = -1
Vậy với m = -1.
Viết phương trình tiếp tuyến dựa vào tham số m
Bài luyện tập
Bài 1. Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = (2x + 1)/(x – 1) và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết M là tiếp điểm của tiếp tuyến.
Lời giải:
Ta có: x0 = -1. Suy ra: y0 = y(-1) = ½
Thay tọa độ điểm M ta được phương trình tiếp tuyến:
y = -¾(x + 1) + ½ = -¾.x – ¼
Bài 2. Cho hàm số (C): y = 4x^3 – 6x^2 + 1. Biết A(-1;-9) thuộc tiếp tuyến hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C).
Lời giải:
Ta có: y’ = 12x^2 – 12x
Giả sử tiếp điểm có tọa độ: M(x0;y0).
Tiếp tuyến tại M có phương trình dạng:
y = [12(x0)^2 – 12×0](x – x0) + 4(x0)^3 – 6(x0)^2 + 1
Vì điểm A(-1;-9) nằm trên tiếp tuyến nên ta có:
-9 = [12(x0)^2 – 12×0](-1 – x0) + 4(x0)^3 – 6(x0)^2 + 1
Suy ra: 8(x0)^3 + 6(x0)^2 – 12×0 – 10 = 0
Suy ra: x0 = 5/4 hoặc x0 = -1
+) Với x0 = 5/4 ta có: y0 = -9/16 và y’(x0) = 15/4
Khi đó, phương trình tiếp tuyến là y = 15/4(x – 5/4) – 9/16 = 15/4x – 21/4
+) Với x0 = -1 ta có: y0 = -9 và y’(x0) = 24
Khi đó, phương trình tiếp tuyến là y = 24(x + 1) – 9 = 24x + 15
Kiến thức chung của viết phương trình tiếp tuyến
Bài 4. Cho đồ thị hàm số y = x^4 – 2(m + 1)x^2 + m + 2. Gọi A có hoành độ bằng 1 là điểm thuộc đồ thị hàm số. Với giá trị nào của tham số m thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A vuông góc với đường thẳng : x – 4y + 1 = 0?
Lời giải:
Ta có: y’ = 4x^3 – 4(m + 1)x.
Giả sử là tiếp tuyến của (C) tại điểm A là đường thẳng d.
Khi đó d có hệ số góc k = y’(1) = 4 – 4(m + 1) = 4m
: x – 4y + 1 = 0 suy ra y = ¼.x – ¼.
Do đó d vuông góc với khi và chỉ khi: k = -4
Suy ra: -4m = -4
Suy ra: m = 1.
Vậy với m = 1 thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A vuông góc với đường thẳng :
x – 4y + 1 = 0
Bài 5. Cho hàm số y = -x^3 + 3x^2 + (2m – 1)x + 2m – 3. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng : x – 2y – 4 = 0?
Lời giải:
Ta có: y’ = -3x^2 + 6x + 2m – 1 = -3(x^2 – 2x +1) + 2m +2
= -3(x – 1)^2 + 2m + 2
GTLN của y’ là 2m + 2, đạt tại x0 = 1
Với x0 = 1 suy ra y0 = 4m – 2
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1;4m –2) là:
d: y – (4m – 2) = (2m + 2)(x – 1)
Suy ra: y = (2m + 2)x + 2m – 4.
Theo đề bài ta có : x – 2y – 4 = 0 hay y = ½.x – 2
Khi đó: d vuông góc với khi và chỉ khi: 2m + 2 = -2
Suy ra: m = -2.
Tham khảo thêm:
[Tổng hợp] Các cách phân tích đa thức thành nhân tử
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Chia đa thức cho đa thức – Toán lớp 8
Bài viết trên đã giúp các em hệ thống lại các kiến thức về phương trình tiếp tuyến và áp dụng làm các dạng bài tập cơ bản. Chúc các em luôn học tốt và gặt hái được nhiều thành công trên con đường học tập.
