• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Toán 10 – Dấu của tam thức bậc hai là gì? Lưu ý khi giải bài tập

05/09/2022 - 01:55 AM - 95 Lượt xem

Dấu của tam thức bậc hai là một trong những lý thuyết trọng tâm của chương trình Đại số lớp 10. Để làm tốt các bài tập về nội dung này, các em cần nắm chắc lý thuyết và chăm chỉ luyện tập nhiều dạng bài khác nhau. Hãy cùng Cmath hệ thống lại lý thuyết quan trọng liên quan đến tam thức bậc hai thông qua bài viết sau đây.

Khái niệm về dấu của tam thức bậc hai

Trước khi đi tìm hiểu về dấu của tam thức bậc hai, chúng ta cùng nhắc lại khái niệm về tam thức bậc hai.

Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai với biến x là một biểu thức có dạng như sau:

f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là những hệ số và a ≠ 0.

Ví dụ: Hãy cho biết dưới đây có bao nhiêu ta thức bậc hai?

a) f(x) = x2 – 1

b) f(x) = (x – 1)2

c) f(x) = (x – 1)(x – 2)

d) f(x) = x2(x2 – 1)

Đáp án: 3.

Chú ý:

Nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c.

∆ = b2 – 4ac và ∆’ = b’2 – ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c.

Khái niệm về dấu của tam thức bậc hai

Khái niệm về dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai

Định lý:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 – 4ac.

  • Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∊ R.
  • Nếu ∆ = 0 thì f(x) có nghiệm kép là: x = -b/2a. Khi đó, f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ≠ -b/2a.
  • Nếu ∆ > 0, f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∊ (-∞; x1) ሀ (x2; +∞) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x ∊ (x1; x2).

Chú ý: 

  • Dấu của tam thức bậc hai được biểu diễn trong bảng dưới đây:

  • Khi xét dấu một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, các em có thể nhớ theo quy tắc “Trong trái, ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a.

Nhận xét:

Cho tam thức bậc hai ax2 + bx + c     

  • ax2 + bx + c > 0, ∀x ∊ R ⇔ a > 0 và ∆ < 0
  • ax2 + bx + c≥ 0, ∀x ∊ R ⇔ a > 0 và ∆ ≤ 0
  • ax2 + bx + c < 0, ∀x ∊ R ⇔ a < 0 và ∆ < 0
  • ax2 + bx + c ≤ 0, ∀x ∊ R ⇔ a < 0 và ∆ ≤ 0

Bất phương trình bậc hai là gì?

Một lý thuyết nữa mà các em cũng cần phải nắm vững đó chính là lý thuyết về bất phương trình bậc hai cũng như cách giải của nó.

Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai với một ẩn x là bất phương trình có dạng:

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c > 0 

ax2 + bx + c ≥ 0 

ax2 + bx + c ≤ 0

Trong đó: các số a, b, c là những số thực và a ≠ 0.

Ví dụ: 

x2 – 1 < 0

2x2 – 5x + 2 > 0

Cách giải bất phương trình bậc hai

Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c < 0 các em cần tìm các khoảng mà trong đó:

  • f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (a < 0)
  • f(x) = ax2 + bx + c trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0)
    Bất phương trình bậc hai là gì?

    Bất phương trình bậc hai là gì?

Bài tập luyện tập

Bài 1. Hãy cho biết dấu của tam thức bậc hai sau đây: -2x2 + 3x + 5

Lời giải:

Tam thức -2x2 + 3x + 5 có ∆ = 9 + 40 = 49 > 0

Tam thức có hai nghiệm phân biệt là x1 = -1 và x2 = 5/2, hệ số a = -2 < 0

Ta lập bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) > 0 khi x ∊ (-1; 5/2)

f(x) = 0 khi x = -1 và x = 5/2

f(x) > 0 khi x ∊ (-∞; -1) U (5/2; +∞) 

Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai: 4x2 – x + 1 < 0

Lời giải:

Ta có thể giải bất phương trình này theo hai cách sau:

Cách 1:

Xét tam thức f(x) = 4x2 – x + 1 có ∆ = -15; a = 4 > 0

=> f(x) > 0 ∀x ∊ R

Vậy bất phương trình 4x2 – x + 1 < 0 vô nghiệm.

Cách 2:

Ta có: 4x2 – x + 1 = 4x2 – 2.2x.1/4 + 1/16 + 15/16

= (2x – 1/2)2 + 15/16 ≥ 15/16 > 0 ∀x ∊ R

Vậy bất phương trình 4x2 – x + 1 vô nghiệm.

Bài 3. Hãy cho biết dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = -2x2 + 4x – 5

b) f(x) = -x2 + 6x – 9

Lời giải:

a) f(x) = -2x2 + 4x – 5

Tam thức bậc hai f(x) = -2x2 + 4x – 5 có:

∆ = b2 – 4ac = 42 – 4.(-2).(-5) = -24 < 0

Hệ số a = -2 < 0

=> f(x) < 0 ∀x ∊ R

b) f(x) = -x2 + 6x – 9

Tam thức bậc hai f(x) = -x2 + 6x – 9 có:

 ∆ = b2 – 4ac = 62 – 4.(-1).(-9) = 0

Nghiệm kép x0 = -b/2a = -6/(-2) = 3

Hệ số a = -1 < 0 

=> f(x) < 0 ∀x ∊ R \ {3}.

Bài 4. Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm du khách như sau:

50 khách đầu tiên có giá vé là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm 1 người, giá vé sẽ được giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi x là số lượng du khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x.

b) Số người của nhóm du khách nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến du lịch là 15 080 000 đồng.

Lời giải:

a) Vì x là số lượng người khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm khách nên x ∊ N*.

Khi đó, tổng số khách của nhóm sẽ là: 50 + x (người)

Nếu có nhiều hơn 50 người đăng ký thì cứ thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách nên thêm x người thì giá vé sẽ giảm 5 000.x đồng/người.

Do đó, giá vé cho mỗi hành khách trong nhóm 50 + x người là: 300 000 – 5 000.x (đồng)

Khi đó, tổng số tiền vé của nhóm 50 + x người hay chính là doanh thu của công ty là:

 DT = (300 000 – 5 000.x).(50 + x) = -5 000.x2 + 50 000.x + 15 000 000

b) Vì chi phí thực sự cho chuyến du lịch là 15 080 000 đồng nên lợi nhuận của công ty bằng doanh thu trừ đi cho phí: y = DT – 15 080 000

= (-5 000.x2 + 50 000.x + 15 000 000) – 15 080 000

= -5 000.x2 + 50 000.x – 80 000 (đồng)

Xét tam thức bậc hai y = f(x) = -5 000.x2 + 50 000.x – 80 000

f(x) có hai nghiệm là x1 = 2, x2 = 8

Hệ số a = -5 000 < 0

Ta có bảng xét dấu sau:

Vì x ∊ N* nên để công ty không lỗ (lời hoặc hòa vốn) thì f(x) ≥ 0

⇔ 2 ≤ x ≤ 8

Do đó, số lượng du khách từ người thứ 51 trở lên nhiều nhất là 8 người thì công ty du lịch không bị lỗ hay số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là 50 + 8 = 58 (người).

Vậy khi nhóm khách du lịch có nhiều nhất là 58 người thì công ty không bị lỗ.

Bài tập luyện tập

Bài tập luyện tập

Tham khảo thêm:

Toán 8 – Khái niệm về hai tam giác đồng dạng

Toán 6 – Ôn lại kiến thức về phân số

Toán 9 – Tất tần tật về phương trình bậc hai một ẩn

Tạm kết

Bài viết trên đã hệ thống các kiến thức cơ bản về tam thức bậc hai cũng như dấu của tam thức bậc hai. Hy vọng các em nắm chắc được kiến thức và chăm chỉ luyện tập các dạng bài tập liên quan. Đừng quên theo dõi những bài viết tiếp theo của Cmath để tìm hiểu thêm nhiều kiến thức Toán học lý thú nhé!