Bài viết ngày hôm nay đề cập đến lý thuyết đại số tổ hợp mà các em được học trong chương trình Toán lớp 11. Hãy cùng Cmath tìm hiểu những kiến thức thú vị liên quan đến lý thuyết này nhé!
Quy tắc đếm là gì?
Có hai quy tắc đếm mà các em cần nắm vững trong chương trình Toán 11 là: quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Quy tắc cộng
Quy tắc:
Có k phương án A1, A2, A3,…, Ak để thực hiện công việc.
Trong đó:
- Có n1 cách để thực hiện phương án A1.
- Có n2 cách để thực hiện phương án A2.
- …
- Có nk cách để thực hiện phương án Ak.
Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: n1 + n2 + … + nk cách.
Ví dụ: Đi từ Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, máy bay. Biết có 10 chuyến ô tô, 2 chuyến tàu hỏa và 1 chuyến máy bay có thể vào được Thành phố Hồ Chí Minh. Số cách có thể đi vào Thành phố Hồ Chí Minh từ Hà Nội là:
Lời giải:
Có 3 phương án để đi từ Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh là: ô tô, tàu hỏa, máy bay.
- Có 10 cách để đi TP. HCM bằng ô tô (vì có 10 chuyến)
- Có 2 cách để đi TP. HCM bằng tàu hỏa (vì có 2 chuyến)
- Có 1 cách để đi TP. HCM bằng máy bay (vì có 1 chuyến)
Vậy có tất cả 10 + 2 + 1 = 13 cách để đi từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh.
Quy tắc nhân
Có k công đoạn A1, A2,…, Ak để thực hiện một công việc.
- Có n1 cách để thực hiện công đoạn A1.
- Có n2 cách để thực hiện công đoạn A2.
- …
- Có nk cách để thực hiện công đoạn Ak.
Khi đó, số cách để thực hiện toàn bộ công việc là: n1.n2…..nk cách.
Ví dụ: Mai muốn đặt mật khẩu nhà là một dãy gồm có 4 chữ số. Chữ số đầu tiên là một số trong 3 chữ số 1; 2; 0, chữ số thứ hai là một số nằm trong 3 chữ số 6; 4; 3, chữ số thứ ba là một số nằm trong 4 chữ số 9; 1; 4; 6 và chữ số thứ tư là một số nằm trong 4 chữ số 8; 6; 5; 4. Hỏi có bao nhiêu cách để Mai đặt mật khẩu nhà?
Lời giải:
Việc đặt mật khẩu nhà gồm có 4 công đoạn (Chọn từ chữ số đầu tiên đến chữ số cuối cùng).
Có 3 cách để thực hiện công đoạn 1 (ứng với 3 cách chọn chữ số đầu tiên).
Có 3 cách để thực hiện công đoạn 2 (ứng với 3 cách chọn chữ số thứ hai).
Có 4 cách để thực hiện công đoạn 3 (ứng với 4 cách chọn chữ số thứ ba).
Có 4 cách để thực hiện công đoạn 4 (ứng với 4 cách chọn chữ số thứ tư).
Vậy có tất cả 3.3.4.4 = 144 cách để Mai có thể đặt mật khẩu nhà.
Quy tắc đếm là gì?
Khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Chúng ta cùng đi tìm hiểu về một số khái niệm cơ bản trong đại số tổ hợp là hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Hoán vị
Định nghĩa: Hoán vị được hiểu nôm na là sự hoán đổi vị trí. Cụ thể, cho một tập hợp có n phần tử khác nhau với n ≥ 1 thì mỗi cách sắp xếp của n phần tử mà mỗi phần tử chỉ được xuất hiện một lần duy nhất thì ta gọi đó là một hoán vị của n phần tử.
Định lý: Pn là ký hiệu số các hoán vị của n phần tử đã cho. Ta có:
Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…2.1
Ví dụ: Hãy tính số cách để sắp xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc.
Lời giải:
Theo định nghĩa hoán vị thì mỗi cách sắp xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là hoán vị của 6 phần tử. Vậy nên, số các cách để sắp xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là:
P6 = 6! =6.5.4.3.2.1 = 720 (cách)
Vậy có 720 cách để sắp xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc.
Chỉnh hợp
Định nghĩa:
Cho tập hợp A bao gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi lấy k phần tử khác nhau trong tổng số n phần tử của tập hợp A và tiến hành sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó thì kết quả thu được là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử. Các em cần chú ý, mỗi hoán vị của n phần tử đã cho chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử.
Định lý:
Ank là ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho. Ta có:
Ví dụ: Cho dãy các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ dãy các số trên.
Lời giải:
Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 4 chữ số từ tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và sắp xếp theo thứ tự nhất định. Mỗi số lập được là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử đã cho.
Vậy, từ tập hợp các số đã cho, có thể lập được số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là:
A74 = 840 số.
Tổ hợp
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử khác nhau và n ≥ 1. Mỗi tập hợp con gồm k phần tử khác nhau trong số n phần tử đã cho (0 ≤ k ≤ n) ta gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Người ta quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử là một tập hợp rỗng.
Định lý:
Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được ký hiệu là Cnk
Với mọi n ≥ 1 và 0 ≤ k ≤ n, ta có công thức sau:
Ví dụ: Mỗi bàn học có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn ra 2 bạn làm trực nhật?
Lời giải:
Ta thấy cứ mỗi cách chọn ra 2 bạn làm trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử khác nhau. Vậy, số cách chọn ra 2 trong số 5 bạn làm trực nhật là:
C52 = 10 cách
Mối liên hệ giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Ta có thể thấy, một chỉnh hợp chập k của n phần tử có thể được tạo thành bằng cách sau:
Bước 1: Ta lấy một tổ hợp chập k của n phần tử.
Bước 2: Thực hiện hoán vị k phần tử vừa lấy ra đó.
Mối quan hệ giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp được thể hiện bằng công thức sau:
Ank = Cnk.Pk
Khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Tìm hiểu về nhị thức Newton
Với n là số nguyên dương. Hai số a, b là các số thực. Ta có công thức:
Vì vai trò của a và b là như nhau nên ta hoán đổi vị trí a và b ta có công thức tương đương.
Để dễ nhớ thì các bạn nên để ý, trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n. Và trong mỗi khai triển có n + 1 số hạng.
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton trên ta có thể dễ dàng khai triển một số hằng đẳng thức quen thuộc.
Một số bài tập tổng hợp về đại số tổ hợp
Bài 1. Từ các chữ số sau đây: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Gồm có 8 chữ số đôi một khác nhau?
b) Gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau?
Lời giải:
a) Số các số tự nhiên gồm có 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 là:
P8 = 8! = 40320 (số).
b) Số các số tự nhiên gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 là:
P86=20160 (số).
Bài 2. Trong chương trình ngoại khóa giáo dục truyền thống, 60 học sinh được trường tổ chức cho đi xem phim. Các ghế ở rạp phim được sắp xếp thành các hàng. Mỗi hàng có 20 ghế.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hang đầu tiên.
b) Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi hàng thứ hai?
c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng ghế đầu, có bao nhiêu cách để sắp xếp 20 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba?
Lời giải:
a) Số cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên là: A6020 cách.
b) Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, số cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai là: A4020 cách.
c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, số cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba là: P20 = 20! cách.
Một số bài tập tổng hợp về đại số tổ hợp
Tham khảo thêm:
Toán 9 – Tất tần tật về phương trình bậc hai một ẩn
Số thập phân – Kiến thức hay Toán 6
Toán 8 – Khái niệm về hai tam giác đồng dạng
Tạm kết
Bài viết trên đã củng cố cho các em những kiến thức cơ bản nhất về đại số tổ hợp. Để làm tốt dạng bài tập này, bên cạnh việc nắm chắc kiến thức lý thuyết, các em cần chăm chỉ luyện tập các dạng toán để nâng cao khả năng tư duy của mình. Chúc các em luôn học tốt và hãy nhớ theo dõi những bài viết tiếp theo của Cmath để tìm hiểu thêm nhiều kiến thức Toán học thú vị nhé!
