Tập làm quen với các hàm số lượng giác

05/09/2022 - 01:57 AM - 55 Lượt xem

Bài viết hôm nay, Cmath sẽ cùng các em tìm hiểu về các hàm số lượng giác cũng như luyện tập giải một số bài tập cơ bản. Hãy cùng tìm hiểu chủ đề thú vị này ngay thôi nào.

Tóm tắt lý thuyết chung về công thức lượng giác

Hàm số lượng giác sin và hàm số cosin

Hàm số lượng giác y = sin x

Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với mỗi số thực sin x

sin: R → R

x → y = sin x

được gọi là hàm số sin.

  • Hàm số sin được kí hiệu là: y = sin x.
  • Tập xác định của hàm số sin x là R.
  • Hàm số sin là hàm số lẻ.

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π]:

  • Hàm số lượng giác y = sin x sẽ đồng biến trên [0; π/2] và nghịch biến trên [π/2; π].
  • Như đã đề cập bên trên, y = sin x là hàm số lẻ nên khi lấy đối xứng đồ thị hàm số này trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta sẽ thu được đồ thị hàm số trên đoạn [-π; 0].
  • Trên tập giá trị xác định R, khi tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [-π; π] theo các vecto v = (2π; 0) và        -v = (-2π; 0), ta sẽ có dạng đồ thị hàm số y = sin x như bên dưới (với tập xác định của hàm số y = sin x là [-1; 1].
    Đồ thị hàm số y = sin x

    Đồ thị hàm số y = sin x

Hàm số lượng giác y = cos x

Hàm số cosin có ký hiệu là y = cos x. Ứng với mỗi số thực x xác định, ta thu được một giá trị cos x. 

  • Tập giá trị xác định của hàm số y = cos x là R.
  • Ngược lại với hàm số sin, hàm số cosin là hàm số chẵn.

Nhận xét sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cos x

  • Để có được đồ thị hàm số y = cos x, ta tiến hành tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vecto u = (-π/2; 0).
    Đồ thị hàm số y = cos x

    Đồ thị hàm số y = cos x

  • Theo hình vẽ, hàm số y = cos x đồng biến trên [-π; 0] và nghịch biến trên [0; π], với tập xác định là [-1; 1].

Hàm số lượng giác tan và hàm số cot

Hàm số lượng giác y = tan x

Công thức để xác định hàm số tang là y = sin x/cos x (cos x ≠ 0). Ký hiệu của hàm số tang: y = tan x.

  • Không giống với hàm số sin và cosin, tập xác định của hàm số tang được kí hiệu là D với

D = R \ {π/2 + kπ, k ∊ Z}.

  • Hàm số tang là hàm số lẻ.

Nhận xét sự biến thiên của đồ thị hàm số y = tan x

  • Đồ thị hàm số y = tan x có tâm đối xứng chính là gốc tọa độ O. Dạng đồ thị này sẽ đồng biến trên [0; π/2]. Vì thế, khi lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tan x trên [0; π/2], ta sẽ thu được đồ thị hàm số y = tan x trên [-π/2; 0].
  • Ngoài ra, để xác định đồ thị hàm số y = tan x trên D, ta tiến hành tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (-π/2; π/2) song song với trục hoành sao cho từng đoạn có độ dài = π, ta được kết quả như sau:
    Đồ thị hàm số y = tan x

    Đồ thị hàm số y = tan x

Hàm số lượng giác y = cot x

Hàm số cotang có ký hiệu là y = cot x và được xác định bằng công thức:

y = cos x/sin x (sin x ≠ 0).

Đây là hàm số lẻ và có tập xác định là D, với D = R \ {kπ, k ∊ Z}.

Nhận xét sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cot x

  • Ta có, hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (0; π). 
  • Khi tịnh tiến đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng (0; π), song song với trục hoành từng đoạn có độ dài bằng nhau và bằng π, ta được đồ thị hàm số y = cot x trên D.
    Đồ thị hàm số y = cot x

    Đồ thị hàm số y = cot x

Giá trị của lượng giác là gì?

Nửa đường tròn đơn vị

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn có tâm O(0; 0), bán kính bằng 1 và đi qua các điểm: A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0) được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Nửa đường tròn đơn vị

Nửa đường tròn đơn vị

Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o

Với mỗi góc 0o ≤ α ≤ 180o thì có đúng một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc AOM = α. Ngược lại, với mỗi điểm M trên nửa đường tròn đơn vị thì tồn tại đúng một góc 0o ≤ α ≤ 180o sao cho góc AOM = α.

Giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0) hì chúng ta có định nghĩa:

  • sin α = y0;
  • cos α = x0;
  • tan α = y0/x0 = sin x/cos x nếu x0 ≠ 0;
  • cot α = x0/y0 = cos x/sin s nếu y0 ≠ 0.

Chú ý:

  • Trục hoành – trục nằm ngang, còn được gọi với tên là trục cos.
  • Trục tung – trục thẳng đứng, còn được gọi với tên là trục sin.

Bài tập luyện tập

Bài 1. Sử dụng máy tính bỏ túi để tìm các giá trị lượng giác sin x và cos x sau: π/6; π/4; 1,5; 2; 3,1; 4,25; 5.

Lời giải:

Ta có kết quả sau khi bấm máy tính như sau:

sin π/6 = 1/2 và cos π/6 = √3/2.

sin π/4 = cos π/4 = √2/2

cos 1,5 = 0,0707; sin 1,5 = 0,9975

sin 2 = 0,9093 và cos 2 = -0,4161

sin 3,1 = 0,0416 và cos 3,1 = -0,9991

sin 4,25 = -0,8950 và cos 4,25 = -0,4461

sin 5 = -0,9589 và cos 5 = 0,2837

Bài 2. Dựa vào đồ thị của hàm số lượng giác y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = |sin x|.

Lời giải:

Ta có:

y = sin x khi sin x ≥ 0.

y = -sin x khi sin x ≤ 0.

Từ đó, dựa vào đồ thị hàm số lượng giác y = sin x, ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = |sin x| bằng cách:

  • Giữ nguyên phần đồ thị nằm ở phía trên trục Ox (sin x ≥ 0).
  • Vẽ phần đồ thị ở phía dưới bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị ở phía trên trục Ox qua trục Ox(sin x ≤ 0).

Đồ thị của hàm số y = |sin x| chính là phần nét liền trong hình dưới đây:

Bài 3. Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x để cos x = 1/2

Lời giải:

Dựa vào đồ thị trên, ta thấy đường thẳng y = 1/2 cắt đồ thị hàm số y = cos x tại điểm có hoành độ π/3 + k2π và -π/3 + k2π (k ∊ Z).

Vậy để cos x = 1/2

⇔ x = ± π/3 + k2π (k ∊ Z).

Tham khảo thêm:

Toán 8 – Khái niệm về hai tam giác đồng dạng

Toán 8 – Khái niệm, tính chất về hình lăng trụ đứng và bài luyện tập

Toán 6 – Ôn lại kiến thức về phân số

Tạm kết

Bài viết trên đã hệ thống cho các em những kiến thức cơ bản về hàm số lượng giác. Để làm tốt dạng bài này, các em cần nắm chắc các kiến thức lý thuyết. Bên cạnh đó cũng cần thường xuyên luyện tập các dạng bài cơ bản để nhớ và hiểu bài lâu hơn. Chúc các em luôn học tốt và đừng quên đón chờ những bài viết tiếp theo của Cmath nhé!