Lý thuyết về hai góc đối đỉnh và bài tập

07/07/2022 - 02:01 AM - 79 Lượt xem

Trong toán học, chúng ta thường bắt gặp lý thuyết hai góc đối đỉnh và các bài tập vận dụng liên quan đến chúng. Chính vì thế, hôm nay Cmath sẽ giới thiệu và giải thích kỹ hơn về chuyên đề này để các bạn nắm vững kiến thức nhằm giải quyết các bài tập vận dụng một cách dễ dàng hơn nhé!

Hai góc đối đỉnh là gì?

Để làm được các bài tập liên quan đến chuyên đề góc đối đỉnh, trước tiên cần nắm được định nghĩa của nó.

Định nghĩa: Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh góc này là tia đối của một cạnh góc kia.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau,, đánh dấu mỗi đầu của đoạn thẳng bằng A,B,C,D. Từ đó sẽ tạo thành hai góc có góc đối đỉnh là góc AOC và góc DOB như hình vẽ dưới đây:

Ngoài ra, khi quan sát kỹ hình vẽ trên ta nhận thấy còn có một cặp góc nữa cũng đối đỉnh tương tự là góc AOD và góc COB. 

Như vậy, đối với hai đường thẳng a, b cắt nhau sẽ tạo thành hai cặp góc có góc đối đỉnh. 

Tính chất của hai góc đối đỉnh

Tính chất

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau, tạo thành hai góc đối đỉnh. Suy ra, hai góc đối đỉnh của đoạn thẳng a cắt đoạn thẳng b bằng nhau. 

Chứng minh:

a) Chứng minh hai góc AOC và góc DOB bằng nhau.

Ta có hai góc AOC và AOD kề bù với nhau nên: góc AOC+ góc AOD=180 (1)

Ta tiếp tục có góc BOC và góc BOD kề bù với nhau nên: góc BOC+BOD=180 (2)

Từ (1) và (2) ta có thể suy ra: góc AOC+ góc AOD = góc BOC+ góc BOD.

Hay góc AOC = góc DOB. 

Chứng minh tương tự như trên ta sẽ có thêm hai cặp góc đối đỉnh nữa là góc AOB và góc COB.

Ngoài ra, khi biết được hai đường thẳng cắt nhau tạo thành góc đối đỉnh. Ta còn có thể tính được số đo của mỗi góc tạo thành. Hãy cùng xem ví dụ b) để hiểu thêm cách làm nhé!

b) Tính số đo của mỗi góc được tạo thành bởi hai đoạn thẳng AB và CD, biết hiệu của hai góc kề bù 30°.

Giả sử góc DOA > góc AOC

Theo giả thiết ta có:

       DOA+  AOC=180°

Và  DOA-  AOC= 30°.

Suy ra: 2 DOA= 210°

  DOC= 105°; AOC = 180° –  105° = 75°

Vậy DOC = COB = 105° ; AOC = DOB = 75°

Mẹo ghi nhớ

Toán học luôn được cho là một môn học hóc búa đối với hầu hết các bạn học sinh. Có lẽ, trở ngại lớn nhất đối với môn học này chính là việc ghi nhớ các công thức. Vì vậy, mình sẽ chia sẻ cho các bạn một số mẹo ghi nhớ các công thức toán học nói chung và kiến thức về hai góc đối đỉnh nói riêng nhé.

  1. Trước tiên, để ghi nhớ công thức toán học dễ dàng và nhanh chóng nhất bạn cần phải thực sự tập trung mỗi khi nghe thầy cô giảng. Như vậy, các bạn sẽ tiết kiệm được thời gian ghi nhớ nhanh hơn rất nhiều khi về nhè.
  2. Bên cạnh đó cần nắm vững các kiến thức lý thuyết. Để thuộc nhanh lý thuyết bạn cần nhờ các từ khóa chính trong định nghĩa.  Chẳng hạn như với hai góc đối đỉnh là gì? bạn có thể đặt từ “tia đối” làm từ khóa chính, vì mỗi cạnh của góc này sẽ là tia đối của cạnh góc kia. 
  3. Bạn nên nhắc lại nhiều lần lý thuyết, mỗi lần nhắc lại là một lần nhớ. Như vậy, bạn có thể nhớ các công thức một cách nhanh và lâu hơn.
  4. Vận dụng lý thuyết để làm bài tập. Việc ghi nhớ không thôi là chưa đủ, nếu bạn thường xuyên làm các dạng bài tập sẽ giúp bạn khắc sâu và hiểu vấn đề tốt hơn. Như vậy, các bài tập cũng sẽ được giải quyết một cách nhanh chóng.
  5. Cuối cùng, bạn nên hệ thống hóa các kiến thức toán học lại với nhau. Trên thực tế, các kiến thức toán học luôn logic và liên kết với nhau. Chẳng hạn đối với hai góc đối đỉnh sẽ liên quan đến các kiến thức về góc, việc ghi nhớ này sẽ giúp bạn nhớ được nhiều kiến thức hơn rất nhiều.

Bài tập vận dụng

Sau khi nắm được lý thuyết và tính chất cơ bản của hai góc có đỉnh đối nhau. Mình sẽ giới thiệu đến các bạn một số bài tập vận dụng để các bạn được luyện tập nhuần nhuyễn hơn nhé. Dưới đây là một số dạng bài tập liên quan đến hai góc có đỉnh đối nhau thường xuất hiện:

Dạng đề 1: Nhận biết hai góc đối đỉnh.

Để làm được bài tập này chúng ta có thể xét cạnh của góc và các tia đối của chúng để tìm các cặp góc đối đỉnh.

Bài tập 1: Quan sát hình vẽ a,b,c,d và cho biết hình nào có hai góc đối đỉnh? Hình nào không có hai góc đối đỉnh? Giải thích?

Hình a: Hai góc này không được xem là hai góc đối đỉnh bởi vì chúng không có đỉnh chung.

Hình b: Hai góc này không được xem là hai góc đối đỉnh vì mỗi cạnh của góc này không là tia đối của cạnh góc kia.

Hình c: Đây chính là hai góc đối đỉnh vì mỗi cạnh của góc này là tia đối của hai cạnh góc kia.

Hình d: Hai góc này không được xem là đối đỉnh bởi vì một cạnh của góc này không được xem là tia đối của cạnh góc kia.

Dạng đề 2: Tìm số đo góc.

Đối với dạng bài tập này ta có thể áp dụng tính chất của hai góc đối đỉnh để giải bài tập. Đó là:

  • Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
  • Hai góc đối đỉnh bằng 180°.

Bài tập 2: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm O. Biết rằng góc AOD lớn gấp 4 lần góc AOC. Tính góc AOD, AOC, BOC, BOD?

Ta có: AOD và AOC là hai góc kề bù với nhau, nên

AOD+AOC = 180° mà AOD = 4 lần AOC

Khi đó ta có 

4AOC+AOC = 180°5AOC =180° hay AOC = 36°

Suy ra ta có AOD = 436 = 144°

Các cặp góc BOC và AOD, BOD và AOC là các cặp góc đối đỉnh. 

Theo tính chất của hai góc đối đỉnh, ta lại có:

BOC = AOD = 144°

BOD = AOC = 36°

Dạng đề 3: Chứng minh hai góc là góc đối đỉnh.

Dạng bài tập này được cho là khó hơn hai dạng bài tập trên. Để có thể giải quyết được dạng đề liên quan đến việc chứng minh hai góc đối đỉnh, ta có thể áp dụng 1 trong hai cách sau:

Cách 1: Ta chỉ cần chứng minh hai cạnh của góc này là tia đối của hai cạnh góc kia.

Cách 2: Ta có thể chứng minh góc xOy và góc x’Oy’ bằng nhau. Theo đó ta sẽ có hai tia Ox và Ox’ (hoặc Oy và Oy’ đối nhau) và hai tia còn lại là Oy và Oy’ nằm trên mặt phẳng đối nhau có bờ là xOx’ (hay yOy’).

Bài tập 3: Cho đường thẳng y y’ và một điểm O nằm trên đường thẳng yy’. Tiếp đó, trên nửa mặt phẳng tia yy’ vẽ tia OA sao cho góc yOA bằng 140°. Trên nửa mặt phẳng yy’ không chứa OA vẽ tia OB sao cho yOB bằng 40°. Chứng minh góc yOB và góc y’OA là hai góc đối.

Ta có O nằm trên đường thẳng yy’ nên Oy và Oy’ được cho là hai tia đối nhau (1).

Do OA và OB thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Oy nên tia Oy nằm giữa OA và OB. 

Suy ra, ta có: góc yOA+ góc yOB = 140°+40° = 180°

Vậy góc yOA và góc yOB là hai góc kề bù nên hai tia OA và OB đối nhau. (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc yOB và y’OA là hai góc đối nhau.

Tham khảo thêm:

Phép cộng các phân thức đại số – Toán lớp 8

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Hàm số tuần hoàn là gì? Cách tính chu kỳ của hàm số lượng giác

Tạm kết: 

Trên đây là toàn bộ phần lý thuyết và tính chất liên quan đến hai góc đối đỉnh. Bên cạnh đó, mình còn giới thiệu đến các bạn một số dạng đề thường gặp đi kèm với bài tập vận dụng nhằm giúp các bạn có thể hình dung dễ dàng hơn. Chúc các bạn có một quá trình học tập thật tốt và đạt kết quả cao!