Trong chương trình cơ bản của môn Toán học, các bạn học sinh sẽ vô cùng quan thuộc với khái niệm giới hạn hàm số. Đây là một trong những kiến thức nền tảng và hữu ích, xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra và bài thi trung học phổ thông quốc gia. Để tìm hiểu kỹ hơn về giới hạn của hàm số, CMath đã tổng hợp trong bài viết sau đây.
Tìm hiểu về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Tìm hiểu về giới hạn hàm số
Hãy cùng CMath tìm hiểu giới hạn hữu hạn của chuyên đề giới hạn hàm số tại một điểm sau đây nhé.
Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y= f(x) xác định trên K hoặc K\{x0}.
Ta nói hàm số y= f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, xn x0, ta được f(xn)L.
Kí hiệu: xx0f(x)=L hay f(x)=L khi xn x0.
Định lý về giới hạn hữu hạn
- a) Giả sử xx0f(x)=L và xx0g(x)=M. Khi đó:
- xx0[f(x)+g(x)]=L+M
- xx0[f(x)-g(x)]=L-M
- xx0[f(x).]=L.M
- xx0[f(x)g(x)]=LM (M0)
- b) Nếu f(x) 0 và xx0f(x)=L, thì:
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm, với xx0).
Giới hạn một bên
- Định nghĩa
y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi xn x0 với dãy số (xn) bất kì, x0<xn<b và xn x0, ta có f(xn)L.
Kí hiệu: xx0+f(x)=L.
y=f(x) xác định trên khoảng (x0;a).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi xn x0 với dãy số (xn) bất kì, a<xn<x0 và xn x0, ta có f(xn) L.
Kí hiệu: xx0–f(x)=L.
- Định lí
xx0f(x)=L khi và chỉ khi xx0–f(x)=xx0+f(x)=L.
Giới hạn hữu hạn của một hàm số tại vô cực
Định nghĩa:
- a) y=f(x)xác định trên khoảng (a;+).
Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là L khi x+với dãy số (xn) bất kì, xn>xa và xn+, ta có f(xn) L.
Kí hiệu: x+f(x)=L hay f(x)L khi x+.
- b) y=f(x)xác định trên khoảng (–;a).
Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là L khi x– với dãy số (xn) bất kì, xn<a và xn–, ta có f(xn) L.
Kí hiệu: x–f(x)=L hay f(x)L khi x–.
Giới hạn vô cực của hàm số
Trong giới hạn hàm số ngoài giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, ta còn có giới hạn vô cực của hàm số. Cùng CMath tìm hiểu lý thuyết giới hạn hàm số dưới đây.
Giới hạn vô cực
Định nghĩa:
y=f(x)xác định trên khoảng (a;+).
Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là – khi x+với dãy số (xn) bất kì, xn>a và xn+, ta có f(xn) –.
Kí hiệu: x+f(x)=- hay f(x)– khi x+.
Giới hạn đặc biệt
- a) x+xk=+ với k là số nguyên dương.
- b) x–xk=- nếu k là số lẻ.
- c) x–xk=+ nếu k là số chẵn.
Quy tắc về giới hạn vô cực
- a) Quy tắc tìm giới hạn f(x).g(x)
|
xx0f(x) |
xx0g(x) |
xx0f(x).g(x) |
|
L>0 |
+ |
+ |
|
– |
– |
|
|
L<0 |
+ |
– |
|
– |
+ |
- b) Quy tắc tìm giới hạn f(x)g(x)
|
xx0f(x) |
xx0g(x) |
Dấu của g(x) |
xx0f(x)g(x) |
|
L |
Tùy ý |
0 |
|
|
L>0 |
0 |
+ |
+ |
|
– |
– |
||
|
L<0 |
+ |
– |
|
|
– |
+ |
Các vấn đề cần biết về giới hạn hàm số
Giải bài tập về giới hạn hàm số dạng vô định
Bài tập 1: Tìm giới hạn của hàm số sau: A=x12x-1-xx2-1
Hướng dẫn giải:
Ta có: x1-(x-1)(x+1)(2x-1+x)=0
A=x12x-1-x2(x-1)(x+1)(2x-1+x)=x1-(x-1)(x+1)(2x-1+x)=0
Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số sau: B=x233x+2-x3x-2-2
Hướng dẫn giải:
Ta có: B=x2(3x+2-x3)(3x-2+2)3(x-2)(3(3x+2)2+23(3x+2)+4=-1
Bài tập 3: B=x132x-1-1x-1
Hướng dẫn giải:
Đặt t = x – 1 ta có: B=x032t+1-1t=23
Giải bài tập cơ bản về giới hạn hàm số mũ
Bài tập 1: Tính các giới hạn hàm số sau:
- a) x0e3x-1x.
- b) x0e2x–e3x5x.
Hướng dẫn giải:
- a) x0e3x-1x=3.x0e3x-13x=3.
- b) x0e2x–e3x5x=x0e2x-12x.25–x0e3x-13x.35=25–35=-15.
Bài tập 2: Tính giới hạn
- a) x0ln(4x+1)x.
- b) x0ln(1+3x)sin2x.
Hướng dẫn giải:
- a) x0ln(4x+1)x=4.x0ln(4x+1)4x=4.
- b) x0ln(1+3x)sin2x=x0ln(1+3x)3xsin2x2x.32=32
Một số lưu ý liên quan đến giới hạn hàm số
Kết luận
Trên đây là tất tần tật lý thuyết trọng tâm và hữu ích về giới hạn hàm số mà CMath thông tin đến các bạn học sinh. Hy vọng các bạn có thể nắm vững các kiến thức cơ bản và học môn Toán tốt hơn. Nếu muốn học bài bản và ôn luyện môn toán thì các bạn học sinh có liên hệ CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu để được tư vấn và giải đáp thắc mắc.
>>> Tham khảo thêm:
Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học
Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2
Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa
THÔNG TIN LIÊN HỆ
- CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
- Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
- Hotline: 0973872184 – 0834570092
- Email: clbcmath@gmail.com
- FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
- Website: cmath.vn
