Lý thuyết quan trọng về giới hạn hàm số nhất định phải biết

07/05/2022 - 01:55 AM - 77 Lượt xem

Trong chương trình cơ bản của môn Toán học, các bạn học sinh sẽ vô cùng quan thuộc với khái niệm giới hạn hàm số. Đây là một trong những kiến thức nền tảng và hữu ích, xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra và bài thi trung học phổ thông quốc gia. Để tìm hiểu kỹ hơn về giới hạn của hàm số, CMath đã tổng hợp trong bài viết sau đây.

Tìm hiểu về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Tìm hiểu về giới hạn hàm số

Hãy cùng CMath tìm hiểu giới hạn hữu hạn của chuyên đề giới hạn hàm số tại một điểm sau đây nhé.

Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y= f(x) xác định trên K hoặc K\{x0}.

Ta nói hàm số y= f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, xn x0, ta được f(xn)L.

Kí hiệu: xx0f(x)=L hay f(x)=L khi xn x0.

Định lý về giới hạn hữu hạn

  1. a) Giả sử xx0f(x)=Lxx0g(x)=M. Khi đó:
  • xx0[f(x)+g(x)]=L+M
  • xx0[f(x)-g(x)]=L-M
  • xx0[f(x).]=L.M
  • xx0[f(x)g(x)]=LM  (M0)
  1. b) Nếu f(x) 0xx0f(x)=L, thì:

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm, với xx0).

Giới hạn một bên

  • Định nghĩa

y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi xn x0 với dãy số (xn) bất kì, x0<xn<bxn x0, ta có f(xn)L.

Kí hiệu: xx0+f(x)=L.

y=f(x) xác định trên khoảng (x0;a).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi xn x0 với dãy số (xn) bất kì, a<xn<x0xn x0, ta có f(xn) L.

Kí hiệu: xx0f(x)=L.

  • Định lí

xx0f(x)=L khi và chỉ khi xx0f(x)=xx0+f(x)=L.

Giới hạn hữu hạn của một hàm số tại vô cực

Định nghĩa:

  1. a) y=f(x)xác định trên khoảng (a;+).

Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là L khi x+với dãy số (xn) bất kì, xn>xaxn+, ta có f(xn) L.

Kí hiệu: x+f(x)=L hay f(x)L khi x+.

  1. b) y=f(x)xác định trên khoảng (;a).

Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là L khi x với dãy số (xn) bất kì, xn<axn, ta có f(xn) L.

Kí hiệu: xf(x)=L hay f(x)L khi x.

Giới hạn vô cực của hàm số

Trong giới hạn hàm số ngoài giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, ta còn có giới hạn vô cực của hàm số. Cùng CMath tìm hiểu lý thuyết giới hạn hàm số dưới đây.

Giới hạn vô cực

Định nghĩa:

y=f(x)xác định trên khoảng (a;+).

Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là khi x+với dãy số (xn) bất kì, xn>axn+, ta có f(xn) .

Kí hiệu: x+f(x)=- hay f(x) khi x+.

Giới hạn đặc biệt

  1. a) x+xk=+ với k là số nguyên dương.
  2. b) xxk=- nếu k là số lẻ.
  3. c) xxk=+ nếu k là số chẵn.

Quy tắc về giới hạn vô cực

  1. a) Quy tắc tìm giới hạn f(x).g(x)

xx0f(x)

xx0g(x)

xx0f(x).g(x)

L>0

+

+

L<0

+

+

  1. b) Quy tắc tìm giới hạn f(x)g(x)

xx0f(x)

xx0g(x)

Dấu của g(x)

xx0f(x)g(x)

L

 

Tùy ý

0

L>0

0

+

+

L<0

+

+

Các vấn đề cần biết về giới hạn hàm số

Giải bài tập về giới hạn hàm số dạng vô định

Bài tập 1: Tìm giới hạn của hàm số sau: A=x12x-1-xx2-1

Hướng dẫn giải:

Ta có: x1-(x-1)(x+1)(2x-1+x)=0

A=x12x-1-x2(x-1)(x+1)(2x-1+x)=x1-(x-1)(x+1)(2x-1+x)=0

Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số sau: B=x233x+2-x3x-2-2

Hướng dẫn giải:

Ta có:  B=x2(3x+2-x3)(3x-2+2)3(x-2)(3(3x+2)2+23(3x+2)+4=-1

Bài tập 3: B=x132x-1-1x-1

Hướng dẫn giải:

Đặt t = x – 1 ta có: B=x032t+1-1t=23

Giải bài tập cơ bản về giới hạn hàm số mũ

Bài tập 1: Tính các giới hạn hàm số sau:

  1. a) x0e3x-1x.
  2. b) x0e2xe3x5x.

Hướng dẫn giải:

  1. a) x0e3x-1x=3.x0e3x-13x=3.
  2. b) x0e2xe3x5x=x0e2x-12x.25x0e3x-13x.35=2535=-15.

Bài tập 2: Tính giới hạn

  1. a) x0ln(4x+1)x.
  2. b) x0ln(1+3x)sin2x.

Hướng dẫn giải:

  1. a) x0ln(4x+1)x=4.x0ln(4x+1)4x=4.
  2. b) x0ln(1+3x)sin2x=x0ln(1+3x)3xsin2x2x.32=32

 

Một số lưu ý liên quan đến giới hạn hàm số

Kết luận

Trên đây là tất tần tật lý thuyết trọng tâm và hữu ích về giới hạn hàm sốCMath thông tin đến các bạn học sinh. Hy vọng các bạn có thể nắm vững các kiến thức cơ bản và học môn Toán tốt hơn. Nếu muốn học bài bản và ôn luyện môn toán thì các bạn học sinh có liên hệ CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu để được tư vấn và giải đáp thắc mắc.

>>> Tham khảo thêm:

Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn