Lũy thừa và số mũ tự nhiên là khái niệm hoàn toàn mới đối với các bạn học sinh lớp 6. Đây là kiến thức quan trọng và là nền tảng để các bạn học giỏi môn toán. Vì vậy, các bạn cần phải nắm vững kiến thức cũng như các dạng bài tập vận dụng. Trong bài viết này CMath sẽ gửi đến bạn tổng hợp các kiến thức về lũy thừa với số mũ tự nhiên và các dạng bài tập để các bạn hiểu rõ hơn.
Định nghĩa về lũy thừa và số mũ tự nhiên
Định nghĩa lũy thừa và số mũ tự nhiên: lũy thừa bậc n của một số a là tích của n thừa số bằng nhau với mỗi thừa số bằng a.
Định nghĩa về lũy thừa và số mũ tự nhiên
a^n = a.a.a.a….a (n khác 0)
Trong đó: số a được gọi là cơ số và n được gọi là số mũ.
Lũy thừa và số mũ tự nhiên được đọc là: a mũ n hoặc đọc là a lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của số a.
Ví dụ: 4.4.4 = 4^3, trong đó 4 là cơ số và 3 là số mũ.
Được đọc là: 4 mũ 3 hoặc 4 lũy thừa 3 hoặc được đọc là lũy thừa bậc 3 của 4.
Chú ý:
- a^2 được đọc là a bình phương hay còn gọi là bình phương của a.
- a^3 được đọc là a lập phương hay còn gọi là lập phương của a.
Quy ước:
- a^1 = a
- a^0 = 1
- 1^n = 1 (n thuộc N)
Quy ước thực hiện các phép tính lũy thừa và số mũ tự nhiên
Dưới đây là một số phép tính về lũy thừa và số mũ tự nhiên mà các bạn cần nắm rõ để ôn luyện và củng cố kiến thức.
Nhân 2 lũy thừa có cùng cơ số
Khi nhân 2 lũy thừa và số mũ tự nhiên có cùng cơ số, ta cần giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ lại.
a^m.a^n = a^(m + n)
Nhân 2 lũy thừa có cùng cơ số
Ví dụ:
- 3^4.3^5 = 3^(4 + 5) = 3^9
- x^3.x = x^3.x^1 = x^(3 + 1) = x^4
Chia 2 lũy thừa có cùng cơ số
Khi chia 2 lũy thừa và số mũ tự nhiên có cùng cơ số (cơ số khác 0), ta cần giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.
a^m:a^n = a^(m – n) (a khác 0, m lớn hơn bằng 0)
Ví dụ:
- 7^8 : 7^3 = 7^(8 – 3) = 7^5
- x^7 : x^2 = x^(7 – 2) = x^5 (x khác 0)
Lũy thừa của lũy thừa
(a^m)^n = a^(m.n)
Lũy thừa của tích
(a^b)^m = a^m.b^n
Lũy thừa của tích
So sánh lũy thừa và số mũ tự nhiên
So sánh 2 lũy thừa và số mũ tự nhiên cùng cơ số nhưng khác số mũ nếu m > n thì a^m > a^n.
So sánh 2 lũy thừa và số mũ tự nhiên khác cơ số nhưng có cùng số mũ nếu a > b thì a^m > b^m.
So sánh lũy thừa và số mũ tự nhiên
Một số bài tập vận dụng lũy thừa và số mũ tự nhiên
Bài tập 1:
- 4.4.4.4.4
- 2.4.8.8.8.8
- 10.100.1000
- x.x.x.x.x.x.x.x + x.x.x.x
Hướng dẫn giải
- 4.4.4.4.4 = 4^5
- 2.4.8.8.8.8 = 2.2^2.2^3.2^3.2^3.2^3 = 2^(1 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3) = 2^15
- 10.100.1000 = 10.10^2.10^3 = 10^(1 + 2 + 3) = 10^6
- x.x.x.x.x.x.x.x + x.x.x.x = x^8 + x^4
Bài tập 2: Viết kết quả sau dưới dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên:
- 4^8.2^10, 9^12.27^4.81^3, x^7.x^4.x^2
- 4^9 : 4^4, 2^10 : 8^2, x^6 : x (x khác 0), 24^n : 2^2n
Hướng dẫn giải:
- 4^8.2^10 = (2^2)^8.2^10 = 2^(2.8).2^10 = 2^16.2^10 = 2^26
9^12.27^4.81^3 = (3^2)^12.(3^3)^4.(3^4)^3 = 3^24.3^12.3^12 = 3^(24 + 12 + 12) = 3^48
x^7.x^4.x^2 = x^(7 + 4 + 2) = x^13
- 4^9 : 4^4 = 4^(9 – 4) = 4^5
2^10 : 8^2 = 2^10 : (2^3)^2 = 2^10 : 2^6 = 2^(10 – 6) = 2^4
x^6 : x = x^6 : x^1 = x^(6 – 1) = x^5
24^n : 2^2n = (2^3.3)^n : 2^2n = (2^3n.3n) : 2^2n = 2^(3n – 2n).3^n = 2^n.3^n = (2.3)^n = 6^n
Bài tập 3: Thực hiện các phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên:
- 3^2.5 + 2^3.10 – 81:3
- 5^13 : 5^10 – 25.2^2
- 84 : 4 + 3^9 : 3^7 +1999^0
- (1^3 + 2^3 + 3^3).(1 + 2^2 + 3^2 + 4^2).(3^8 – 81^2)
Hướng dẫn giải
- 3^2.5 + 2^3.10 – 81:3
= 3^2.5 + 2^3.2.5 – 3^4 : 3
= 3^2.5 + 2^(3 + 1).5 – 3^(4 – 1)
= 3^2.5 + 2^4.5 – 3^3
= (3^2.5 – 3^3) + 2^4.5
= 3^2.(5 – 3) + 16.5
= 3^2.2 + 80
= 9.2 + 80
= 98
- 5^13 : 5^10 – 25.2^2
= 5^(13 – 10) – 5^2.2^2
= 5^3 – 5^2.2^2
= 5^2.(5 – 2)
= 25.3
= 75
- 84 : 4 + 3^9 : 3^7 +1999^0
= 21 + 3^(9 – 7) + 1
= 21 + 3^2 + 1
= 21 + 9 + 1
= 31
- (1^3 + 2^3 + 3^3).(1 + 2^2 + 3^2 + 4^2).(3^8 – 81^2)
= (1^3 + 2^3 + 3^3).(1 + 2^2 + 3^2 + 4^2).[(3^8 – (3^4)^2)]
= (1^3 + 2^3 + 3^3).(1 + 2^2 + 3^2 + 4^2).(3^8 – 3^(4.2)
= (1^3 + 2^3 + 3^3).(1 + 2^2 + 3^2 + 4^2).(3^8 – 3^8)
= 0
Bài tập 4: So sánh các lũy thừa với số mũ tự nhiên sau đây:
- 2^6 và 8^2
- 2^6 và 6^2
Hướng dẫn giải
- Ta có 8^2 = (2^3)^2 = 2^(3.2) = 2^6 ⇒ 2^6 = 8^2
- Ta có 2^6 = 2^(3.2) = 8^2 > 6^2 ⇒ 2^6 > 6^2
Bài tập 5: Tìm ẩn số x, biết rằng:
- 2^x.16^2 = 1024
- 3^4.3^x : 9 = 3^7
- (2x + 1)^3 = 125
- 4^x = 19^6 : (19^3.19^2) – 3.1^2016
Hướng dẫn giải
- 2^x.16^2 = 1024
⇔ 2^x.(2^4)^2 = 2^10
⇔ 2^x.2^8 = 2^10
⇔ 2^x = 2^10 : 2^8
⇔ 2^x = 2^2
⇔ x = 2
- 3^4.3^x : 9 = 3^7
⇔ 3^4.3^x : 3^2 = 3^7
⇔ 3^(4 + x – 2) = 3^7
⇔ 3^(2 + x) = 3^7
⇔ 2 + x = 7
⇔ x = 5
- (2x + 1)^3 = 125
⇔ (2x + 1)^3 = 5^3
⇔ 2x +1 = 5
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
- 4^x = 19^6 : (19^3.19^2) – 3.1^2016
⇔ 4^x = 19^6 : 19^5 – 3.1
⇔ 4^x = 19 – 3
⇔ 4^x = 16
⇔ 4^x = 4^2
⇔ x = 2
Bài tập 6: Cho giá trị biểu thức sau đây: A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^100
Hướng dẫn giải
A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^100
⇔ 2A = 2.(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^100)
⇔ 2A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^101
⇔ 2A – A = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^101) – (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^100)
⇔ A = 2^101 – 1
Bài tập 7: Tính giá trị biểu thức sau đây::
- A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^2017
- B = 1 + 3^2 + 3^4 + … + 3^2018
- C = –5 + 5^2 – 5^3 + 5^4 – … – 5^2017 + 5^2018
Hướng dẫn giải
- A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^2017
⇔ 2A = 2.(2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^2017)
⇔ 2A = 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^2018
⇔ 2A – A = (2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^2018) – (2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^2017)
⇔ A = 2^2018 – 2
- B = 1 + 3^2 + 3^4 + … + 3^2018
⇔ 3^2.B = 3^2.(1 + 3^2 + 3^4 + … + 3^2018)
⇔ 9B = 3^2 + 3^4 + 3^6 + … + 3^2020
⇔ 9B – B = (3^2 + 3^4 + 3^6 + … + 3^2020) – (1 + 3^2 + 3^4 + … + 3^2018)
⇔ 8B = 3^2020 – 1
⇔ B = (3^2020 – 1) : 8
- C = –5 + 5^2 – 5^3 + 5^4 – … – 5^2017 + 5^2018
⇔ 5C = 5.(–5 + 5^2 – 5^3 + 5^4 – … – 5^2017 + 5^2018)
⇔ 5C = –5^2 + 5^3 – 5^4 + 5^5 – … – 5^2018 + 5^2019
⇔ 5C + C = (–5^2 + 5^3 – 5^4 + 5^5 – … – 5^2018 + 5^2019) + (–5 + 5^2 – 5^3 + 5^4 – … – 5^2017 + 5^2018)
Bài tập 8: Tìm tập hợp số lũy thừa với số mũ tự nhiên x, biết rằng lũy thừa 5^(2x – 1) thỏa điều kiện: 100 < 5^(2x – 1) < 5^6.
Hướng dẫn giải
Ta có 100 < 5^(2x – 1) < 5^6
⇒ 5^2 < 100 < 5^(2x – 1) < 5^6
⇒ 2 < 2x – 1 < 6
⇒ 2 + 1 < 2x < 6 + 1
⇒ 3 < 2x < 7
Vì ẩn số x thuộc N nên ta suy ra x thuộc trong khoảng {2; 3} là thỏa mãn điều kiện 100 < 5^(2x – 1) < 5^6.
>>> Tham khảo thêm:
Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Riêng tư: Số hữu tỉ là gì? Số vô tỉ là gì?
Chuyên đề: Các dạng đồ thị hàm số cơ bản và nâng cao
Tạm kết
Các thông tin về lũy thừa với số mũ tự nhiên tại bài viết này đã giúp bạn tìm hiểu cũng như ôn tập về chuyên đề toán học này. Hy vọng các thông tin trên đây từ Cmath là hữu ích và hỗ trợ được cho bạn trong quá trình học toán.
