Toán 8 – Khái niệm, tính chất về hình lăng trụ đứng và bài luyện tập

28/07/2022 - 10:12 AM - 162 Lượt xem

Hình lăng trụ đứng là lý thuyết quan trọng trong chương trình Hình học lớp 11. Để làm được các bài tập liên quan đến lý thuyết này, các em cần nắm rõ khái niệm, tính chất cũng như các công thức quan trọng. Bài viết dưới đây của Cmath sẽ giúp các em có cái nhìn khách quan nhất về lý thuyết này.

Hình lăng trụ đứng là gì?

Trước khi tìm hiểu các công thức tính toán diện tích, thể tích của hình lăng trụ đứng, chúng ta cùng tìm hiểu thế nào là hình lăng trụ đứng? Hình lăng trụ đứng có những tính chất nào?

Định nghĩa

Định nghĩa hình lăng trụ:

Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên 2 mặt phẳng song song nhau và là hai đa giác bằng nhau. Theo đó, hai đáy này có thể là hình vuông, hình bình hành, hình tam giác hoặc hình chữ nhật,… Các mặt bên đều là hình bình hành và có các cạnh bên song song và bằng nhau.

Định nghĩa hình lăng trụ đứng:

Theo như khái niệm về hình lăng trụ ở trên, thì hình lăng trụ đứng chính là hình có:

  • Hai đáy của hình lăng trụ này là hai đa giác phẳng và bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song nhau.
  • Những mặt bên của hình lăng trụ đứng này đều là hình chữ nhật và vuông góc với những mặt phẳng có chứa những đa giác đáy.

Đối với hình lăng trụ dạng đứng, độ dài của cạnh bên chính là chiều cao của hình lăng trụ này, những cạnh bên song song và bằng nhau. Người ta thường gọi tên hình lăng trụ đứng theo tên của đa giác đáy như lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,… Hình lăng trụ đứng có đáy là những đa giác đều sẽ gọi là lăng trụ đều.

Hình lăng trụ đứng là gì?

Hình lăng trụ đứng là gì?

Tính chất

Từ định nghĩa trên, ta có thể dễ dàng suy ra được những tính chất của hình lăng trụ đứng như sau:

  • Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng vuông góc với đáy.
  • Tất cả những mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật.
  • Những mặt phẳng chứa đáy song song với nhau.
  • Chiều cao bằng cạnh bên của hình lăng trụ đứng.

Hình lăng trụ đứng mà có đáy là hình bình hành thường còn được gọi với tên khác là hình hộp đứng. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều sẽ được gọi tên theo đa giác đáy ví dụ: đáy là hình tam giác đều sẽ có tên là hình lăng trụ tam giác đều hoặc đáy là tứ giác đều sẽ được gọi là hình lăng trụ tứ giác đều…

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng

Diện tích các mặt xung quanh của hình lăng trụ đứng được tính bằng chiều cao của hình lăng trụ nhân với chu vi đáy.

Sxq = 2.p.h

Trong đó: 

p là nửa chu vi đáy

h là chiều cao.

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng

Từ công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng ta suy ra được công thức tính diện tích toàn phần của nó:

Stp = Sxq + 2S

Trong đó:

Sxq là diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng.

S là diện tích đa giác ở đáy.

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng

Thể tích của hình lăng trụ đứng

Thể tích của hình lăng trụ đứng được tính bằng diện tích của đáy nhân với chiều cao của hình lăng trụ.

V = S.h

Trong đó:

S là diện tích đáy

h là chiều cao.

Thể tích của hình lăng trụ đứng

Thể tích của hình lăng trụ đứng

Bài luyện tập

Có hai dạng bài cơ bản liên quan đến hình lăng trụ đứng là: tính độ dài, diện tích, thể tích… của hình lăng trụ và dạng bài chứng minh các quan hệ về góc, cạnh và mặt phẳng.

Dạng 1. Chứng minh quan hệ giữa cạnh, góc và mặt phẳng

Để làm được dạng bài tập chứng minh quan hệ giữa góc, cạnh và mặt phẳng đối với hình lăng trụ đứng, ta cần áp dụng các tính chất của chúng. Ta có thể sử dụng quan hệ song song hoặc vuông góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng, đường thẳng với đường thẳng để có thể giải thích cũng như chứng minh được bài tập dạng này.

Bài 1. Cho hình vẽ dưới đây:

Hãy chỉ ra đâu là đỉnh, đâu là mặt bên, đâu là mặt đáy của hình lăng trụ đứng.

Lời giải:

Trong hình lăng trụ đứng này:

  • A’, B’, C’, D’, A, B, C, D là các đỉnh của hình lăng trụ.
  • ABB’A’, BCC’B’,… là những hình chữ nhật và là các mặt bên.
  • AA’, BB’, CC’, DD’ là các cạnh bên, chúng song song và bằng nhau.
  • ABCD và A’B’C’D’ là hai đáy. 

Hình lăng trụ trên có hai đáy là tứ giác nên gọi là lăng trụ tứ giác, kí hiệu: ABCD.A’B’C’D’.

Dạng 2. Tính độ dài, diện tích và thể tích hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng là hình có các tính chất đặc biệt, khác với những hình lăng trụ thông thường khác. Chính vì vậy mà công thức tính các thông số của hình lăng trụ đứng cũng phụ thuộc vào những tính chất riêng của nó. Đây là dạng toán khá đơn giản, chỉ cần áp dụng các công thức bên trên là ta có thể xác định được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình lăng trụ đứng…

Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, AB = 4 cm, AA’ = 5 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ ABC.A’B’C’?

Lời giải:

Tam giác ABC có nửa chu vi là:

p = (AB + AC + BC)/2 = (4 + 4 + 4)/2 = 6 (cm)

Khi đó ta có:

SABC = √[p(p – AB)(p – AC)(p – BC)]

= √[6(6 – 4)(6 – 4)(6 – 4)] = 43 (cm2)

Diện tích các mặt xung quanh của hình lăng trụ là:

Sxq = 2.p.AA’ = 2.6.5 = 60 (cm2)

Diện tích toàn phần là:

Stp = Sxq + 2SABC = 60 + 2.43 = 60 + 83 (cm2)

Thể tích của hình lăng trụ là:

V = S.AA’ = 43.5 = 203 (cm3)

Bài 3. Xác định chiều cao của hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH, biết rằng đáy ABCD là hình thoi có các đường chéo AC = 10 (cm), BD = 24 (cm) và diện tích toàn phần bằng 1280 cm2.

Lời giải:

Áp dụng công thức: Stp = Sxq + 2Sd

Hay Sxq = Stp – 2Sd = 1280 – 2.½.1024

= 1280 – 240 = 1040 (cm2)

Vì đáy ABCD là hình thoi nên BD vuông góc với AC tại O

Tam giác BOC vuông tại O nên:

BC2 = BO2 + OC2

=> BC2 = 122 + 52 = 132

=> BC = 13 (cm)

Chu vi đáy là 2.p = 4.13 = 52 (cm)

Áp dụng công thức Sxq = 2p.h

=> h = Sxq/2p = 1040/52 = 20 (cm)

Bài 4. Một trại hè có dạng hình lăng trụ đứng đáy tam giác, thể tích hình không gian bên trong là 2,16 (m3). Biết chiều dài lều AD = 2,4 m, chiều rộng của lều là 1,2 m. Tính chiều cao AH của lều.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng ta có: V = S.h

Mà h = 2,4

S = ½.AH.BC = 0,6.AH

Do đó: V = S.h = 0,6.AH.2,4 = 1,44.AH

Theo giả thiết ta có: 1,44.AH = 2,16

=> AH = 1,5 (m)

Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A: AC = 4cm, AB = 3cm. Hình lăng trụ có chiều cao h = 3 cm. Hình lăng trụ đó có thể tích là bao nhiêu?

Lời giải:

Diện tích tam giác ABC là:

SABC = ½.AB.AC = ½.3.4 = 6 (cm2)

Khi đó, thể tích của hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là:

V = h.SABC = 3.6 = 18 (cm3)

Bài 6. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4cm, BC = 5 cm, h = 2,5 cm.Tính diện tích các mặt xung quanh của hình lăng trụ đứng?

Lời giải:

Chu vi hình chữ nhật ABCD là:

p = 2(AB + BC) = 2(4 + 5) = 18 (cm)

Khi đó, diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ là:

Sxq = p.h = 18.2,5 = 45 (cm2)

Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4 cm, BC = 5 cm, h = 2,5 cm.Tính Stp của hình lăng trụ đứng?

Lời giải:

 Theo bài 4, ta có Sxq = 45 (cm2)

Khi đó, diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ là:

Stp = Sxq + 2S = 45 + 2.4.5 = 85 (cm2)

Bài 8. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có độ dài ba cạnh đáy là 4 cm, 6 cm, 8 cm. Biết diện tích xung quanh bằng 90 cm2. Xác định độ dài chiều cao của hình lăng trụ?

Lời giải:

Chu vi đáy là: 4 + 6 + 8 = 18 (cm)

Vì diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là: Sxq = 2p.h

=> h = Sxq/2p = 90/18 = 5 (cm)

Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQ có đáy hình thang AB // CD và AB = 4 cm, CD = 6 cm và chiều cao của hình thang là 5 cm, chiều cao của hình lăng trụ là 4 cm. Xác định thể tích của hình lăng trụ là bao nhiêu?

Lời giải:

Diện tích hình thang ABCD là:

S = ½.(AB + CD).h = ½.(4 + 6).5 = 25 (cm2)

Thể tích của ABCD.MNPQ là:

V = S.h = 25.4 = 100 (cm3)

Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = 6cm, AC = 8cm, AA’ = 5cm và diện tích xung quanh là 120 cm2. Hỏi tam giac ABC là tam giác gì? Tại sao?

Lời giải:

Diện tích các mặt xung quanh của hình lăng trụ là:

Sxq = Sd.h

=> Sd = Sxq/h = 120/5 = 24 (cm2)

Mà: ½.AB.AC = ½.6.8 = 24 = Sd

=> Tam giác ABC vuông tại A.

Tham khảo thêm:

Toán 9 – Cách giải hệ phương trình và những điều bạn nên biết

Toán 7 – Góc ở vị trí đặc biệt và tia phân giác của một góc

Toán 9 – Cách giải hệ phương trình và những điều bạn nên biết

Bài viết trên đã tổng hợp những kiến thức lý thuyết về hình lăng trụ đứng cũng như các dạng bài tập thông dụng về tính diện tích và thể tích hình. Hy vọng đây những tài liệu và kiến thức này sẽ giúp các em tự tin chinh phục môn Toán. Chúc các em luôn học tốt và thường xuyên theo dõi các bài viết mới của Cmath nhé!