• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Hệ thức Vi-ét là gì? Ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong giải bài tập

29/04/2022 - 10:57 AM - 729 Lượt xem

Hệ thức Vi-ét là một trong các hệ thức vô cùng quen thuộc đối với các học sinh lớp 9, đồng thời cũng xuất hiện trong hầu hết các đề thi tuyển sinh vào 10. Tuy nhiên, không phải học sinh nào cũng biết cách dùng hệ thức này để giải bài tập. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng CMATH tìm hiểu xem hệ thức Vi-ét là gì cũng như các dạng toán sử dụng hệ thức Vi-ét quan trọng cần biết. 

Hệ thức Vi-ét là gì?

Hệ thức Vi-ét là một hệ thức được tìm ra bởi nhà Toán học người Pháp François Viète. Hệ thức này thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình cũng như sự liên quan giữa các hệ số của chúng. 

Cụ thể, giả sử cho một phương trình bậc hai có dạng ax2+bx+c=0 (a0). Nếu tập nghiệm của phương trình trên gồm hai nghiệm x1 và x2 thì theo hệ thức Vi-ét ta sẽ có các đẳng thức sau: 

x1+x2=-ba

x1x2=ca

Hệ thức này có thể được chứng minh dễ dàng thông qua các ẩn và hệ số của phương trình tổng quát. 

Tìm hiểu hệ thức Vi-ét là gì?

Ứng dụng của Vi-ét trong giải toán

Bên cạnh hệ thức Vi-ét là gì thì các ứng dụng của hệ thức này cũng rất được quan tâm. Trong chương trình toán 9, hệ thức Vi-ét chính là một trong những hệ thức có nhiều ứng dụng quan trọng nhất. 

Hệ thức Vi-ét là gì và tính ứng dụng ra sao?

Ứng dụng tìm nghiệm trong trường hợp đặc biệt

Giả sử chúng ta có phương trình bậc hai được viết dưới dạng ax2+bx+c=0 (a0). Trong đó, nếu a+b+c = 0 thì đây được gọi là một dạng đặc biệt của phương trình bậc hai. Khi đó, phương trình sẽ có một nghiệm x1 = 1. Dựa vào hệ thức Vi-ét, chúng ta có thể dễ dàng tìm ra nghiệm còn lại x2 = ca.

Trường hợp đặc biệt thứ hai của phương trình là đẳng thức a-b+c=0. Khi đó, phương trình đã cho sẽ có một nghiệm x1=-1. Dựa vào hệ thức Vi-ét, chúng ta có thể dễ dàng tìm ra nghiệm còn lại có giá trị bằng -ca.

Ứng dụng tìm hai số khi biết tổng và tích 

Hệ thức Vi-ét đã cung cấp cho chúng ta hai dữ liệu về tổng và tích của hai số bất kỳ. Từ đó, hai số cần tìm này chính là nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0 (S24P). Giá trị S là tổng, P là tích đã biết. 

Các dạng toán áp dụng hệ thức Vi-ét thường gặp

Sau khi đã trả lời câu hỏi hệ thức Vi-ét là gì cũng như đưa ra các ứng dụng thường gặp, dưới đây là một số dạng toán có sử dụng hệ thức Vi-ét mà CMATH muốn giới thiệu đến các em học sinh. Đây cũng là những kiểu bài thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10:

Tính giá trị các biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình 

Phương pháp giải: Dạng toán cơ bản đầu tiên cần sử dụng đến hệ thức Vi-ét chính là tính giá trị của các biểu thức có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. Cách làm sẽ tiến hành theo các bước sau đây: 

Tính giá trị các biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình hệ thức Vi-ét là gì

  • Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có nghiệm. Sau đó, sử dụng hệ thức Vi-ét để suy ra được S=x1+x2=-ba, P=x1x2=ca.
  • Bước 2: Biến đổi biểu thức đề bài đã cho thành dạng có chứa x1+x2 hoặc x1x2 để áp dụng giá trị đã tính được ở bước trên. 
  • Bước 3: Tính giá trị biểu thức mà đề bài đã cho

Một số dạng biểu thức thường gặp trong kiểu bài toán này là: 

  • x12+x22
  • x14+x24

Tìm nghiệm của phương trình không cần giải

Phương pháp giải: Dạng toán này thường được áp dụng nhiều trong các bài tập trắc nghiệm. Nếu biết cách vận dụng hệ thức Vi-ét thì trong hai trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2 sẽ không cần giải mà vẫn nhẩm ra được nghiệm. 

  • Trường hợp 1: Nếu các hệ số a+b+c=0 thì phương trình sẽ có một nghiệm bằng 1, nghiệm còn lại bằng ca.
  • Trường hợp 2: Nếu các hệ số a-b+c=0 thì phương trình sẽ có một nghiệm bằng -1, nghiệm còn lại bằng -ca.

Tìm khoảng giá trị m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước về nghiệm 

Phương pháp giải: Cách giải dạng bài này sẽ bao gồm ba bước cụ thể như sau: 

  • Xác định điều kiện để phương trình có nghiệm. 
  • Từ hệ thức Vi-ét, tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm. 
  • Kiểm tra lại bằng cách thử một tham số m nằm trong khoảng giá trị thỏa mãn xem phương trình có nghiệm hay không, sau đó kết luận. 

Đây cũng là một trong những dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh. Tùy vào độ khó mà nó có thể nằm ở phần cơ bản hoặc phần nâng cao của đề. Dạng toán này tuy không quá khó nhưng rất dễ nhầm lẫn, vì thế các em học sinh cần chú ý tránh sai sót, đặc biệt là khi tìm điều kiện xác định của tham số m cũng như điều kiện có nghiệm của phương trình. 

Phân tích tam thức bậc 2 thành các nhân tử

Phương pháp giải: Hệ thức Vi-ét có thể được ứng dụng để giúp phân tích nhanh các tham thức bậc 2 thành nhân tử. Giả sử chúng ta có phương trình cho trước ax2+bx+c với a0. Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 thì chúng ta có thể dễ dàng phân tích phương trình đã cho thành nhân tử

ax2+bx+c =a(x-x1)(x-x2)

Tìm hai số khi biết giá trị tổng và tích

Phương pháp giải: Như đã nói ở trên, một trong những ứng dụng quan trọng nhất của hệ thức Vi-ét là gì chính là có thể sử dụng để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Dưới đây là các bước giải cụ thể dành cho dạng bài này

  • Tìm điều kiện để tồn tại hai số cần tìm. Hai số đó sẽ là nghiệm của một phương trình bậc 2 có dạng x2-Sx+P=0. Để phương trình này có nghiệm thì cần thỏa mãn điều kiện S24P.
  • Sau đó, tìm ra hai nghiệm x1 và x2 của phương trình. Khi đó các số cần tìm ở trên chính là hai nghiệm này. Tùy vào các dữ kiện mà đề bài đã cho mà các em có thể phân biệt hai số này để trả lời cho đúng. 

 

Dạng toán về dấu của các nghiệm trong phương trình bậc 2 

Phương pháp giải: Dạng toán xét dấu cũng có thể áp dụng hệ thức Vi-ét để thuận tiện và nhanh chóng hơn. Hệ thức này sẽ cho phép các em tìm điều kiện sao cho phương trình có hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm dương phân biệt, hai nghiệm âm phân biệt hoặc hai nghiệm trái dấu. Dưới đây là từng trường hợp cụ thể: 

  • Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu là: Tích ac < 0. 
  • Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là: >0 và P>0.
  • Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương là: >0, P>0 và S>0.
  • Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm là: >0, P>0 và S<0.
  • Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm dương có giá trị tuyệt đối bé hơn nghiệm âm là: ac<0 và S<0.

Lưu ý: Ký hiệu S chính là tổng hai nghiệm x1+x2, ký hiệu P chính là tích của hai nghiệm x1x2. Trước khi áp dụng vào từng dạng để giải, các em cần xét điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm trước. Chỉ khi có nghiệm thì mới tìm dấu của các nghiệm được. 

Một số lưu ý khi giải các dạng bài liên quan đến hệ thức Vi-ét

Các dạng toán liên quan đến hệ thức Vi-ét là gì phần lớn được đánh giá là cơ bản, vì thế rất dễ lấy trọn điểm trong đề thi. Tuy nhiên, các em cũng cần phải chú ý một số điều sau đây để tránh nhầm lẫn và sai sót khi làm bài: 

  • Đọc kỹ lý thuyết và ghi nhớ nhuần nhuyễn công thức của hệ thức Vi-ét. Đồng thời, cũng phải nắm được các ký hiệu thường xuất hiện khi giải bài tập. 
  • Do hệ thức Vi-ét thường được áp dụng trong các dạng bài liên quan đến phương trình bậc hai nên đầu tiên, các em cần phải tìm điều kiện có nghiệm của phương trình trước. 
  • Tránh để nhầm lẫn giữa các dạng bài với nhau. Đối với dạng toán xét dấu, các em có thể ghi nhớ công thức có sẵn để có thể giải bài tập nhanh hơn, tuy nhiên vẫn cần phải hiểu rõ về bản chất cũng như chứng minh được tại sao lại có công thức đó. 
  • Khi đã nhuần nhuyễn lý thuyết và các phương pháp giải bài tập, hãy làm thật nhiều bài. Việc thực hành nhiều sẽ giúp các em quen dần với các dạng toán liên quan, tránh nhầm lẫn sai sót, đồng thời phát triển tư duy để tiếp cận với các loại bài toán khó hơn. 

Tìm hiểu các dạng toán hay và khó tại trung tâm luyện thi CMATH

Tìm hiểu các dạng toán hay và khó tại trung tâm luyện thi CMATH

Nếu bạn đang tìm kiếm cho con mình một trung tâm luyện thi uy tín và chất lượng thì hãy tham khảo các thông tin về trung tâm CMATH. Đây là một trong những địa chỉ dạy và ôn luyện thi có tiếng ở Hà Nội. Đến với CMATH, các em học sinh không chỉ được lên những lộ trình ôn thi đầy đủ, được ôn lại toàn bộ các kiến thức quan trọng mà còn được tiếp cận với những dạng toán hay và khó. Đặc biệt là với những em đang có ý định ôn thi vào các ngôi trường chuyên nổi tiếng. 

CMATH luôn cố gắng hết sức để có thể tăng sự gắn kết giữa các em học sinh và quý phụ huynh, để các bậc cha mẹ có thể tham gia đốc thúc và động viên việc học. Sau mỗi buổi, quý phụ huynh sẽ được thông báo về thái độ cũng như kết quả buổi học của các em, từ đó vạch ra phương hướng ôn luyện tiếp theo cho con trẻ. Sau 2 tháng dạy và học, các em sẽ được tổ chức các kỳ thi đánh giá năng lực, để nhìn nhận lại phương pháp học cũng như sự hiệu quả trong thời gian ôn luyện vừa qua. 

Kết luận 

Trên đây là một số thông tin quan trọng về hệ thức Vi-ét, một trong những hệ thức được sử dụng nhiều nhất trong chương trình toán cấp 2. Hy vọng qua bài viết này, các em đã phần nào hiểu được hệ thức Vi-ét là gì cũng như cách áp dụng hệ thức Vi-ét trong các dạng toán phổ biến thường gặp.

>>> Có thể bạn quan tâm:

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số đơn giản, dễ hiểu

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn