Hàm số bậc nhất và các dạng toán quan trọng cần lưu ý

07/05/2022 - 10:52 AM - 187 Lượt xem

Trong chương trình môn Toán dành cho học sinh lớp 10, mở đầu chương II, các em học sinh sẽ được ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ bản về hàm số – cụ thể là hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Ngay bây giờ, CMath xin giới thiệu đến các bạn các kiến thức về hàm số bậc nhất và các dạng toán quan trọng mà các bạn học sinh cần nắm được!

1. Hàm số là gì?

Hàm số được hiểu một cách đơn giản nghĩa là một MỐI QUAN HỆ hay ÁNH XẠ giữa các giá trị đầu vào và giá trị đầu ra của một biểu thức.

Một ví dụ đơn giản nhé, khi chúng ta nấu ăn cụ thể là món rau muống xào tỏi, thì chúng ta có nguyên liệu đầu vào chính là rau muống, tỏi, ớt cùng một số gia vị nêm nếm khác, … trải qua một hàm gọi là hàm chế biến, kết quả đầu ra sau khi ra khỏi hàm chế biến này chính là món rau muống thơm ngon.

Hàm số trong toán học cũng có cấu trúc tương tự như vậy, hàm số sẽ đóng vai trò là một nhà máy (tất nhiên mỗi nhà máy sẽ khác nhau và cho ra những thành phẩm khác nhau).

Hàm số trong chương trình học thường được kí hiệu là f với f chính là function có nghĩa là hàm, x là một giá trị đầu vào bất kỳ nào đó.

Ví dụ: f(x) = 2x

Với hàm này ta có:

  • x = 2 ta có f(x) = 2 * 2, thì đầu ra của hàm số sẽ là 4
  • x = 4 ta có f(x) = 2 * 4, thì đầu ra của hàm số đó sẽ bằng 8

2. Hàm số bậc nhất là gì

  • Hàm số bậc nhất được hiểu là hàm số mà được cho bởi công thức y = ax + b trong đó giá trị a, b là những số cho trước và a ≠ 0.  
  • Như vậy công thức của một hàm số bậc nhất đó là : y = ax + b 
  • Ví dụ hàm số bậc nhất sau đây: y = 6x + 7b, y = 2x , y = -4x – 1, y = (1/2)x + 9…

Tính chất:

Hàm số bậc nhất đã cho y = ax + b sẽ xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:

  1. a) Đồng biến trên R khi và chỉ khi giá trị a > 0
  2. b) Nghịch biến trên R khi và chỉ khi giá trị a < 0

Ví dụ: 

Hàm số y = -12x – 1 là hàm số nghịch biến trên R vì có hệ số a là -12 < 0.

Hàm số y = x là hàm đồng biến trên R vì có hệ số a là 1 > 0.

3. Tính biến thiên của một hàm số bậc nhất.

Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) có tập xác định D=R, được gọi là hàm số đồng biến trên R nếu a>0 và nghịch biến trên R nếu như giá trị a<0.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên đồ thị hàm số

4. Đồ thị hàm số.

Hàm số y=ax+b () có đồ thị trên trục số là một đường thẳng:

– Với hệ số góc là a.

– Đồ thị này cắt trục hoành tại A(-b/a;0).

– Cắt trục tung tại điểm B(0;b)

Đặc biệt, trong trường hợp giá trị a=0, hàm số y=ax+b đã suy biến thành y=b, là một hàm hằng với đồ thị hàm số là một đường thẳng song song với trục hoành. 

Lưu ý: khi cho đường thẳng d mà có hệ số góc a, đi qua điểm có giá trị (x0;y0), sẽ có phương trình:

y – y0 = a (x – x0)

5. Tổng hợp 3 dạng toán quan trọng về hàm số bậc nhất cần lưu ý

Dạng 1: Xác định hàm số bậc nhất, từ đó xét sự tương giao giữa các đồ thị của hàm số bậc nhất.

Phương pháp làm bài:

Đối với bài toán yêu cầu chúng ta đi tìm hàm số bậc nhất, ta sẽ làm theo các bước:

Hàm số bậc nhất cần tìm sẽ có dạng: y=ax+b ().

– Sử dụng những giả thuyết mà đề cho, từ đó đi thiết lập các phương trình thể hiện mối quan hệ giữa giá trị a và b.

– Giải hệ vừa thiết lập từ đó ta sẽ có được hàm số cần tìm.

Đối với bài toán thể hiện sự tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất:

Ta đi gọi đường thẳng d: y=ax+b (a≠0), đường thẳng d’: y=a’x+b’ (a’≠0), lúc này:

+ Giá trị d trùng d’ khi và chỉ khi:

 a = a’ và b = b’

+ d song song với giá trị d’ khi:

a = a’ và b ≠ b’

+ d cắt d’ khi a≠a’, lúc này thì tọa độ của giao điểm là nghiệm của hệ:

y = ax + b và y = a’x + b’

đặc biệt khi giá trị aa’= -1 thì d có thể vuông góc với d’.

Ví dụ 1: Xét hàm số bậc nhất của đồ thị là đường thẳng d, từ đó hãy xác định hàm số biết rằng:

  1. đường d đi qua điểm (1;3) và (2;-1).
  2. d đi qua điểm (3;-2), đồng thời d còn song song với d’: 3x-2y+1=0.
  3. d đi qua điểm (1;2), đồng thời đường thẳng d cắt các tia Ox và tia Oy lần lượt tại 2 điểm M, N thỏa mãn điều kiện diện tích tam giác OMN là nhỏ nhất.
  4. d đi qua (2;-1) và từ đó vuông góc với d’: y=4x+3.

Hướng dẫn:

Hàm số chúng ta cần đi tìm có dạng y=ax+b (

  1. Chú ý: Với một đường thẳng có dạng y=ax+b (), khi đi qua điểm có giá trị (x0;y0) thì từ đó ta sẽ thu được đẳng thức sau: y0=ax0+b

hàm số đi qua hai điểm (1;3) và (2;-1) từ đó ta sẽ có hệ phương trình:

3 = a + b và -1 = 2a + b 

Vậy đáp số của bài toán đã cho là y=-4x+7.

2. Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song vừa được học bên trên, ta biến đổi d’ về dạng:ss

Do d song song với đường thẳng d’, suy ra: 

lại có đường thẳng d đi qua (3;-2), suy ra: , suy ra:

Từ đó ta có thu được hàm số cần tìm.

3. Tọa độ các điểm cắt theo đề bài đã cho lần lượt là:

Do điểm giao nằm trên đường thẳng Ox và tia Oy, vì vậy a<0 và b>0

Lúc này, diện tích tam giác sẽ được tính theo công thức:

Theo đề, đồ thị sẽ đi qua điểm (1;2), suy ra giá trị: 2=a+b ⇒ b=2-a

Thế vào công thức diện tích:

Vậy diện tích của tam giác MNO đạt giá trị nhỏ nhất nếu:

Đáp số cần tìm:

Chú ý: chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số thực dương để giải bài toán trên, cụ thể: đề bài cho hai số thực dương a,b, khi đó ta sẽ có một bất đẳng thức:

điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi giá trị a bằng giá trị b

4. Đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm (2;-1) nên:

Lại có đường d vuông góc với d’:

 4a = -1 

Vậy cuối cùng ta thu được: y = -1/4x – 1/2

Bảng biến thiên và đồ thị hàm số của ví dụ 1

Ví dụ 2: Xét hai đường thẳng như sau: d:y=x+2m và d’:y=3x+2.

  1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng vừa cho.
  2. Xác định giá trị của tham số m để ta có 3 đường thẳng d, d’ và d’’ đồng quy, biết rằng:

Hướng dẫn:

  1. Vì giá trị 1≠3 (hai hệ số góc khác nhau) nên d và d’ cùng cắt nhau.

Tọa độ giao điểm là giá trị nghiệm của:

Vậy tọa độ của giao điểm là  M(m-1;3m-1) 

  1. Do 3 đường thẳng trên đồng quy, vậy M ∈d’’. Suy ra ta có:

Xét đề bài: m=1, khi đó 3 đường thẳng là d:y=x+2; d’: y=3x=2 và d’’: y=-x+2 phân biệt cắt nhau tại điểm (0;2)

Xét tại m=-3 khi đó d’ trùng với d’’, điều này không thỏa mãn tính phân biệt.

Vậy m=1 là đáp số đề bài cần tìm.

Dạng 2: Dạng bài khảo sát biến thiên và sau đó vẽ đồ thị hàm số.

Phương pháp: Chúng ta sẽ dựa vào tính chất biến thiên đã nêu ở mục I để giải.

Ví dụ 1: Xét tính biến thiên của 2 hàm số sau đây:

  1. y=3x+6
  2. x+2y-3=0

Hướng dẫn làm bài:

  1. Ta có tập xác định hàm số D=R

a=3>0, chính vì thế nên hàm số đồng biến trên R.

Bảng biến thiên của hàm số được vẽ như sau:

Bảng biến thiên và đồ thị hàm số của ví dụ 1

Vẽ đồ thị: để vẽ được đồ thị của hàm số, ta đi xác định tất cả các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua, cụ thể là hai điểm (-2;0) và (-1;3)

2. Ta có thể biến đổi hàm số về dạng:

Tập xác định tại D=R.

Hệ số góc là a<0, từ đó hàm số nghịch biến trên R.

Bảng biến thiên và đồ thị hàm số của ví dụ 1b

Dạng 3: Đối với hàm số bậc nhất chứa giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

Xét đồ thị hàm số sau có dạng , để có thể vẽ đồ thị này, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Cách 1: Thực hiện vẽ đồ thị (C1) của hàm số y=ax+b với các tọa độ x thỏa mãn điều kiện ax+b≥0.

Sau đó tiếp tục vẽ đồ thị (C2) của hàm số y= -ax-b ở các tọa độ x sao cho chúng thỏa mãn điều kiện ax+b<0. Đồ thị © cần tìm là sự kết hợp của đồ thị (C1) và (C2).

Cách 2: Đi từ việc vẽ đồ thị (C’) của hàm số y=ax+b, lấy đối xứng của phần đồ thị (C’) nằm dưới trục hoành qua trục hoành, rồi sau đó ta đi xóa toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Phần đồ thị còn lại là đồ thị © cần tìm.

Mở rộng bài toán:

Cho trước với đồ thị (C) : y=f(x). Khi đó:

  • Để có thể vẽ được đồ thị (C’) của y=f(|x|), ta thực hiện:
    • Giữ đồ thị (C) nằm ở bên phải trục tung.
    • Sau đó ta đi lấy đối xứng phần đồ thị ở bên trái trục tung qua trục tung, sau đó, sau đó xóa phần bên trái đi.
  • Để có thể vẽ đồ thị (C2) của hàm số y=|f(x)|, ta thực hiện:
    • Giữ phần đồ thị nằm ở bên trên trục hoành.
    • Lấy đối xứng những phần đồ thị bên dưới trục hoành qua trục hoành, sau đó chúng ta xóa phần bên dưới trục hoành đi.

Ví dụ: Vẽ đồ thị:

Hướng dẫn:

  1. Khi x ≥0, thì hàm số có dạng là y=2x. Đồ thị đã cho là phần đường thẳng đi qua 2 điểm đó là (0;0) và (1;2) (chú ý chúng ta chỉ lấy phần bên phải của đường thẳng x=0 thôi)

– Khi x<0, thì hàm số đã cho sẽ có dạng y=-x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua các điểm là (-1;1) và (-2;2) (chú ý lấy phần nằm bên trái so với đường thẳng x=0)

  1. Tiếp tục ta vẽ đường thẳng y=-3x+3 và đường thẳng y=3x-3. Cuối cùng ta xóa phần đồ thị nằm dưới trục hoành, sau đó ta sẽ thu được đồ thị cần tìm.

Đồ thị hàm số minh họa cho ví dụ

Kết luận

Trên đây là những kiến thức về hàm số bậc nhất và các dạng toán quan trọng liên quan đến hàm số bậc nhất mà các bạn học sinh cần lưu ý. CMath mong rằng sẽ giúp ích được cho bạn trong kì thi sắp tới!

>>> Tham khảo thêm:

Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

  • CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
  • Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
  • Hotline: 0973872184 – 0834570092
  • Email: clbcmath@gmail.com
  • FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
  • Website: cmath.vn