• Địa chỉ: 82 Nguyễn Tuân , Thanh Xuân , Hà Nội
  • Hotline: 0973872184 - 0987779734
  • Email: clbcmath@gmail.com

Bất đẳng thức trong tam giác? Quan hệ giữa ba cạnh tam giác

29/08/2022 - 02:00 PM - 224 Lượt xem

Một trong những lý thuyết khá quan trọng trong chương trình Hình học lớp 7 đó chính là bất đẳng thức trong tam giác. Bài viết dưới đây, Cmath sẽ cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác và bất đẳng thức trong tam giác. Hãy cùng tìm hiểu những kiến thức thú vị này ngay thôi nào!

Lý thuyết cần nắm vững

Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến bất đẳng thức trong tam giác, các bạn học sinh cần phải nắm vững một số lý thuyết cơ bản sau:

Định lý

Định lý: Tổng độ dài hai cạnh bất kỳ trong một tam giác luôn luôn lớn hơn độ dài của cạnh còn lại.

Áp dụng vào tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

  • AB + AC > BC hay b + c > a
  • AB + BC > AC hay c + a > b
  • AC + BC > AB hay b + a > c

Hệ quả bất đẳng thức trong tam giác

Hệ quả: Trong một tam giác bất kỳ, hiệu độ dài hai cạnh luôn luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Nhận xét: Nếu đồng thời xét cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì ta có thể phát biểu quan hệ giữa các cạnh của nó như sau:

Trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kỳ lúc nào cũng nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu các độ dài của hai cạnh còn lại.

Ví dụ: Trong tam giác ABC, xét mối quan hệ giữa cạnh BC và hai cạnh còn lại, ta có:

|AC – AB| < BC < AC + AB hay |b – c| < a < b + c.

Bài tập minh họa

Dạng 1. Xác định ba độ dài bất kỳ có thể tạo thành một tam giác không?

Phương pháp:

  • Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c nếu |b – c| < a < b + c
  • Nếu từ giả thiết ta xác định được a là số lớn nhất trong ba số a, b, c đã cho thì điều kiện để tồn tại một tam giác là a < b + c

Bài 1. Trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau, bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Giải thích?

a) 2cm, 3cm, 6cm.

b) 2cm, 4cm, 6cm.

c) 3cm, 4cm, 6cm.

Lời giải:

a)

Ta có: 3 – 2 < 6 < 3 + 2

Bất đẳng thức này sai nên ba độ dài 2cm, 3cm, 6cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

b)

Vì 6 = 2 + 4 nên ba độ dài 2cm, 4cm, 6cm không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác.

c)

Ta có: 4 – 3 < 6 < 4 + 3

Bất đẳng thức trên đúng nên ba độ dài 3cm, 4cm, 6cm là ba cạnh của một tam giác.

Bài 2. Cho tam giác ABC với AC = 7cm, BC = 1cm. Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài cạnh này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải:

Xét Δ ABC, theo hệ quả của bất đẳng thức tam giác ta có:

AC – BC < AB < AC + BC

Thay AC = 7cm, BC = 1cm, ta được:

7 – 1 < AB < 7 + 1

=> 6 < AB < 8

Vì độ dài AB là một số nguyên thỏa mãn bất đẳng thức trên nên AB = 7cm.

Tam giác ABC có AB = AC = 7cm nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.

Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác và các phép biến đổi tương đương. Một số phép biến đổi thường được sử dụng là:

  • Cộng cùng một số và hai vế của bất đẳng thức: a > b => a+ c > b + c
  • Cộng vế với vế tương ứng của hai bất đẳng thức cùng chiều:

a < d

c < d

⇔ a + c < b + d.

Bài 3. Cho tam giác ABC, M là một điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: MC + MB < AC + AB.

Lời giải:

Vì M nằm trong ΔABC nên tia BM cũng nằm trong ΔABC.

Gọi BM cắt CA tại điểm D, D nằm giữa hai điểm A và C

Khi đó, M nằm giữa hai điểm B và D.

Ta có: BM + MD = BD

Mà BD < BA + AD (định lý)

=> BM + MD < BA + AD

Xét ΔBAD có: BM + MD < BA + AD (chứng minh trên) (1)

Xét ΔMDC có: MC – MD < DC (chứng minh trên) (2)

Cộng hai vế tương ứng của (1) và (2) ta có:

BM + MC < BA + AD + DC

Hay BM + MC < BA + AC

=> Điều phải chứng minh.

Bài 4. Cho tam giác ABC có AC < AB, góc BAC có AD là tia phân giác. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E. Chứng minh bất đẳng thức sau: AB – AC > EB – EC.

Lời giải:

Vì AB > AC (giả thiết) nên trên cạnh AB lấy điểm F sao cho: AF = AC.

Xét ΔAEF và ΔAEC có:

Góc A1 = Góc A2 (giả thiết)

AF = AC

Cạnh AE chung

Nên ΔAEF = ΔAEC (c – g – c)

=> EF = EC

Xét ΔBEF, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

BF < BE – EF

Mà AB – AF < BE – EF

Mặt khác, ta lại có: AF = AC; EF = EC

Do đó: AB – AC < BE – EC

=> Điều phải chứng minh.

Dạng 3. Tìm GTNN của tổng hai độ dài

Phương pháp:

  • Với ba điểm M, B, C bất kì ta có: BM + MC ≥ BC. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BC.
  • Như vậy, nếu độ dài đoạn BC không đổi thì tổng BM + MC có giá trị nhỏ nhất bằng độ dài đoạn BC khi và chỉ khi M thuộc đoạn BC.

Bài 5. Cho đường thẳng d và hai điểm A và B nằm về hai phía của d.

Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho: AC + CB là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi C là giao điểm của AB và đường thẳng d.

Vì C là điểm nằm trên đoạn thẳng AB nên:

AC + CB = AB (1)

Điểm C’ là một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d (C’ ≠ C)

Nối AC’, BC’

Sử dụng bất đẳng thức trong ΔABC’, ta có:

AC’ + BC’ > AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AC’ + C’B > AC + CB

Vậy C là điểm cần tìm.

Bài 6. Cho đường thẳng d bất kỳ, hai điểm A, B nằm cùng một phía so với d và AB không song song với d. Một điểm M di động trên d. Tìm vị trí M sao cho |MA – MB| là lớn nhất.

Lời giải:

Theo AB không song song với đường thẳng d nên ta gọi giao điểm của AB và d là điểm N.

Với điểm M bất kỳ thuộc d mà M không trùng với N thì ta có ΔMAB. Do đó:

|MA – MB| < AB

Khi M ☰ N thì: |MA – MB| = AB.

Vậy |MA – MB| lớn nhất là bằng AB, khi đó M ☰ N là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Bài 7. Một khu dân cư và một trạm biến áp được xây dựng tại hai địa điểm A và B cách xa nhau ở hai bờ sông. Hãy tìm một địa điểm C trên bờ sông gần khu dân cư để xây dựng một cột điện đưa điện từ trạm biến áp về khu dân cư, sao cho độ dài đường dây điện cần dùng là ngắn nhất.

Lời giải:

Để độ dài đường dây là ngắn nhất thì C nằm trên đoạn thẳng AB, tức là: AC + BC = AB

Vì trong trường hợp điểm C nằm ngoài đoạn thẳng AB thì ba điểm A, B, C sẽ tạo thành một tam giác. Khi đó, theo định lý tổng hai cạnh trong tam giác ta có:

AC + BC > AB

Do đó: AC + Bc ngắn nhất khi C nằm giữa A và B.

Vậy vị trí đặt cây cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây ngắn nhất chính là điểm C nằm giữa A và B.

Bài 8. Ba thành phố A, B, C tương ứng là ba đỉnh của một tam giác. Biết rằng AB = 90km, AC = 30km.

a) Nếu đặt một máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km tại thành phố C thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?

b) Vẫn là câu hỏi đó với trường hợp máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 120km.

Lời giải:

a) Theo đề bài: AC = 30km, AB = 90km => AC < AB.

Trong ∆ABC có: AB – AC < BC (hệ quả)

=> CB > 90 – 30 = 60km

Nếu đặt máy phát sóng tại C có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B sẽ không nhận được tín hiệu.

b) Trong ∆ABC có: BC < AC + AB (bất đẳng thức trong tam giác)

=> BC < 30 + 90 = 120km.

Như vậy, nếu ta đặt ở C một máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 120km thì thành phố B sẽ nhận được tín hiệu.

Tham khảo thêm:

Số thập phân – Kiến thức hay Toán 6

Toán 8 – Khái niệm về hai tam giác đồng dạng

Toán 9 – Tất tần tật về phương trình bậc hai một ẩn

Tạm kết

Bài viết trên đã giúp các em củng cố lại các kiến thức về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức trong tam giác. Hy vọng các kiến thức trong bài sẽ giúp các em tự tin giải các bài tập thực hành liên quan đến lý thuyết này. Chúc các em sẽ chinh phục được môn Toán và hãy thường xuyên theo dõi các bài viết mới của Cmath nhé!